Singularités à l'infini et intégration motivique

Raibaut, Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012), p. 51-100 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $k$ un corps de caractéristique nulle et $f$ une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article une fibre de Milnor motivique à l'infini qui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque $k$ est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l’infini de $f$. Nous la calculons par exemple, dans le cas d’un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Pour toute valeur $a$, nous définissons une fibre de Milnor motivique complète $S_{f,a}$ qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle $S_{f-a}$. Ceci permet d’introduire des valeurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motivique de $f$ et une notion de fonction motiviquement modérée.

Abstract

Let $k$ be a field of characteristic zero and $f$ be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article a motivic Milnor fiber at infinity which belongs to a Grothendieck ring of varieties. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independent of this choice. When $k$ is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it specializes to the spectrum at infinity of $f$. As an example, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value $a$, we define a complete motivic Milnor fiber $S_{f,a}$. This object is an extension of the usual motivic Milnor fiber $S_{f-a}$. Then we introduce motivic atypical values, a motivic bifurcation set of $f$ and a notion of motivically tame function.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 2903771 | Zbl 1266.14012 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2624

Bibliographie

[1] F. Bittner - « On motivic zeta functions and the motivic nearby fiber », Math. Z. 249 (2005), p. 63-83. | MR 2106970 | Zbl 1085.14020

[2] T. Brélivet - « Variance of the spectral numbers and Newton polygons », Bull. Sci. Math. 126 (2002), p. 332-342. | MR 1909464 | Zbl 1032.32016

[3] -, « Sur les paires spectrales de polynômes à deux variables », in Singularités Franco-Japonaises, Sémin. Congr., vol. 10, Soc. Math. France, 2005, p. 39-59. | Zbl 1087.14009

[4] S. A. Broughton - « On the topology of polynomial hypersurfaces », in Singularities, Part 1 (Arcata, Calif., 1981), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 40, Amer. Math. Soc., 1983, p. 167-178. | MR 713056 | Zbl 0526.14010

[5] -, « Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces », Invent. Math. 92 (1988), p. 217-241. | MR 936081 | Zbl 0658.32005

[6] P. Cassou-Noguès & A. Dimca - « Topology of complex polynomials via polar curves », Kodai Math. J. 22 (1999), p. 131-139. | MR 1679243 | Zbl 0939.32027

[7] B. Conrad - « Deligne's notes on Nagata compactifications », J. Ramanujan Math. Soc. 22 (2007), p. 205-257. | MR 2356346 | Zbl 1142.14001

[8] P. Deligne - « Théorie de Hodge. III », Publ. Math. I.H.É.S. 44 (1974), p. 5-77. | Numdam | MR 498552 | Zbl 0237.14003

[9] J. Denef & F. Loeser - « Motivic Igusa zeta functions », J. Algebraic Geom. 7 (1998), p. 505-537. | MR 1618144 | Zbl 0943.14010

[10] -, « Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration », Invent. Math. 135 (1999), p. 201-232. | MR 1664700 | Zbl 0928.14004

[11] -, « Geometry on arc spaces of algebraic varieties », in European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), Progr. Math., vol. 201, Birkhäuser, 2001, p. 327-348. | MR 1905328 | Zbl 1079.14003

[12] A. Dimca - « Monodromy and Hodge theory of regular functions », in New developments in singularity theory (Cambridge, 2000), NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 21, Kluwer Acad. Publ., 2001, p. 257-278. | MR 1849312 | Zbl 0993.32017

[13] -, Sheaves in topology, Universitext, Springer, 2004. | MR 2050072

[14] R. García López & A. Némethi - « On the monodromy at infinity of a polynomial map », Compositio Math. 100 (1996), p. 205-231. | Numdam | Zbl 0855.32016

[15] -, « Hodge numbers attached to a polynomial map », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 49 (1999), p. 1547-1579. | Numdam | MR 1723826 | Zbl 0944.32029

[16] -, « On the monodromy at infinity of a polynomial map. II », Compositio Math. 115 (1999), p. 1-20. | MR 1671745 | Zbl 0947.32014

[17] G. Guibert - « Espaces d'arcs et invariants d'Alexander », Comment. Math. Helv. 77 (2002), p. 783-820. | MR 1949114 | Zbl 1046.14008

[18] G. Guibert, F. Loeser & M. Merle - « Nearby cycles and composition with a nondegenerate polynomial », Int. Math. Res. Not. 2005 (2005), p. 1873-1888. | MR 2171196 | Zbl 1093.14032

[19] -, « Iterated vanishing cycles, convolution, and a motivic analogue of a conjecture of Steenbrink », Duke Math. J. 132 (2006), p. 409-457. | MR 2219263 | Zbl 1173.14301

[20] H. Hironaka - « Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II », Ann. of Math. 79 (1964), p. 109-203, 205-326. | MR 199184 | Zbl 0122.38603

[21] B. Iversen - « Critical points of an algebraic function », Invent. Math. 12 (1971), p. 210-224. | MR 342512 | Zbl 0223.14003

[22] A. G. Kouchnirenko - « Polyèdres de Newton et nombres de Milnor », Invent. Math. 32 (1976), p. 1-31. | MR 419433 | Zbl 0328.32007

[23] F. Loeser - « Seattle lectures on motivic integration », in Algebraic geometry-Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 80, Amer. Math. Soc., 2009, p. 745-784. | MR 2483954 | Zbl 1181.14017

[24] E. Looijenga - « Motivic measures », Astérisque 276 (2002), p. 267-297, Séminaire Bourbaki, vol. 1999/2000, exp. no 874. | Numdam | MR 1886763 | Zbl 0996.14011

[25] Y. Matsui & K. Takeuchi - « Monodromy at infinity of polynomial map and mixed hodge modules ».

[26] -, « Monodromy zeta functions at infinity, newton polyhedra and constructible sheaves », preprint arXiv :0809.3149.

[27] A. Némethi & C. Sabbah - « Semicontinuity of the spectrum at infinity », Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 69 (1999), p. 25-35. | MR 1722919 | Zbl 0973.32014

[28] A. Némethi & A. Zaharia - « On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 26 (1990), p. 681-689. | MR 1081511 | Zbl 0736.32024

[29] -, « Milnor fibration at infinity », Indag. Math. (N.S.) 3 (1992), p. 323-335. | MR 1186741 | Zbl 0806.57021

[30] A. Parusiński - « On the bifurcation set of complex polynomial with isolated singularities at infinity », Compositio Math. 97 (1995), p. 369-384. | Numdam | MR 1353280 | Zbl 0840.32007

[31] -, « A note on singularities at infinity of complex polynomials », in Symplectic singularities and geometry of gauge fields (Warsaw, 1995), Banach Center Publ., vol. 39, Polish Acad. Sci., 1997, p. 131-141. | MR 1458655 | Zbl 0882.32018

[32] C. A. M. Peters & J. H. M. Steenbrink - Mixed Hodge structures, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 52, Springer, 2008. | MR 2393625 | Zbl 1138.14002

[33] F. Pham - « Vanishing homologies and the $n$ variable saddlepoint method », in Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 40, Amer. Math. Soc., 1983, p. 319-333. | MR 713258 | Zbl 0519.49026

[34] M. Raibaut - « Fibre de Milnor motivique à l'infini », C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348 (2010), p. 419-422. | MR 2607031 | Zbl 1195.14028

[35] C. Sabbah - « Monodromy at infinity and Fourier transform », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 33 (1997), p. 643-685. | MR 1489993 | Zbl 0920.14003

[36] -, « Hypergeometric periods for a tame polynomial », Port. Math. (N.S.) 63 (2006), p. 173-226. | MR 2229875 | Zbl 1113.14011

[37] -, « Monodromy at infinity and Fourier transform. II », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 (2006), p. 803-835. | MR 2266998 | Zbl 1259.14008

[38] M. Saito - « Mixed Hodge modules », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 26 (1990), p. 221-333. | MR 1047415 | Zbl 0727.14004

[39] D. Siersma & M. Tibăr - « Singularities at infinity and their vanishing cycles », Duke Math. J. 80 (1995), p. 771-783. | MR 1370115 | Zbl 0871.32024

[40] J. Steenbrink & S. Zucker - « Variation of mixed Hodge structure. I », Invent. Math. 80 (1985), p. 489-542. | MR 791673 | Zbl 0626.14007

[41] M. Tibăr - « Asymptotic equisingularity and topology of complex hypersurfaces », Int. Math. Res. Not. 1998 (1998), p. 979-990. | MR 1653787 | Zbl 0920.32030

[42] -, Polynomials and vanishing cycles, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 170, Cambridge Univ. Press, 2007. | MR 2360234 | Zbl 1126.32026

[43] A. N. Varčenko - « Theorems on the topological equisingularity of families of algebraic varieties and families of polynomial mappings », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36 (1972), p. 957-1019. | MR 337956 | Zbl 0251.14006

[44] J.-L. Verdier - « Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard », Invent. Math. 36 (1976), p. 295-312. | MR 481096 | Zbl 0333.32010

[45] H. H. Vui & L. D. Tráng - « Sur la topologie des polynômes complexes », Acta Math. Vietnam. 9 (1984), p. 21-32 (1985). | MR 796894 | Zbl 0597.32005

[46] A. Zaharia - « On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary. II », Kodai Math. J. 19 (1996), p. 218-233. | MR 1397423 | Zbl 0867.32013