Infinitesimal Morita homomorphisms and the tree-level of the LMO invariant

[Homomorphismes de Morita infinitésimaux et réduction arborée de l'invariant LMO]

Massuyeau, Gwénaël

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012), p. 101-161 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\Sigma $ une surface compacte orientée avec une composante de bord, et soit $\pi $ le groupe fondamental de $\Sigma $. La filtration de Johnson est une suite décroissante de sous-groupes du groupe de Torelli de $\Sigma $, dont le $k$-ième terme est constitué de tous les homéomorphismes de $\Sigma $ agissant trivialement au niveau du $k$-ième quotient nilpotent de $\pi $. Morita a défini un homomorphisme du $k$-ième terme de la filtration de Johnson vers le troisième groupe d’homologie du $k$-ième quotient nilpotent de $\pi $. Dans cet article, nous remplaçons les groupes par leurs algèbres de Lie de Malcev et nous étudions une version « infinitésimale » du $k$-ième homomorphisme de Morita, que nous montrons être équivalente à la version originale par un isomorphisme canonique. Nous apportons une description diagrammatique du $k$-ième homomorphisme de Morita infinitésimal et, étant donné un développement du groupe libre $\pi $ qui est « symplectique » en un sens, nous montrons comment cet homomorphisme peut être calculé à partir de l’« application de Johnson totale » introduite par Kawazumi. En outre, nous donnons une interprétation topologique de toute la réduction arborée de l’homomorphisme LMO, qui est une représentation diagrammatique du groupe de Torelli obtenue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki des variétés de dimension trois. Plus précisément, un développement symplectique de $\pi $ est construit à partir de l’invariant LMO, et nous montrons que la réduction arborée de l’homomorphisme LMO est équivalente à l’application de Johnson totale correspondant à ce développement. Il en découle que le $k$-ième homomorphisme de Morita coïncide avec la troncation en degré $[k,2k[$ de la réduction arborée de l’homomorphisme LMO. Nos résultats s’appliquent aussi au monoïde des cylindres d’homologie sur $\Sigma $.

Abstract

Let $\Sigma $ be a compact connected oriented surface with one boundary component, and let $\pi $ be the fundamental group of $\Sigma $. The Johnson filtration is a decreasing sequence of subgroups of the Torelli group of $\Sigma $, whose $k$-th term consists of the self-homeomorphisms of $\Sigma $ that act trivially at the level of the $k$-th nilpotent quotient of $\pi $. Morita defined a homomorphism from the $k$-th term of the Johnson filtration to the third homology group of the $k$-th nilpotent quotient of $\pi $. In this paper, we replace groups by their Malcev Lie algebras and we study the “infinitesimal” version of the $k$-th Morita homomorphism, which is shown to correspond to the original version by a canonical isomorphism. We provide a diagrammatic description of the $k$-th infinitesimal Morita homomorphism and, given an expansion of the free group $\pi $ that is “symplectic” in some sense, we show how to compute it from Kawazumi’s “total Johnson map”. Besides, we give a topological interpretation of the full tree-reduction of the LMO homomorphism, which is a diagrammatic representation of the Torelli group derived from the Le-Murakami-Ohtsuki invariant of $3$-manifolds. More precisely, a symplectic expansion of $\pi $ is constructed from the LMO invariant, and it is shown that the tree-level of the LMO homomorphism is equivalent to the total Johnson map induced by this specific expansion. It follows that the $k$-th infinitesimal Morita homomorphism coincides with the degree $[k,2k[$ part of the tree-reduction of the LMO homomorphism. Our results also apply to the monoid of homology cylinders over $\Sigma $.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 2903772 | Zbl 1248.57009 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2625
Classification:  57M27,  57R19,  57R50,  20F28,  20F38,  20F40
Mots clés: groupe de Torelli, homomorphismes de Johnson, homomorphismes de Morita, développement de Magnus, algèbre de Lie de Malcev, cylindre d'homologie, invariant de type fini, invariant LMO

Bibliographie

[1] D. Bar-Natan - « On the Vassiliev knot invariants », Topology 34 (1995), p. 423-472. | MR 1318886 | Zbl 0898.57001

[2] -, « Vassiliev homotopy string link invariants », J. Knot Theory Ramifications 4 (1995), p. 13-32. | MR 1321289 | Zbl 0878.57003

[3] D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky & D. P. Thurston - « The Aarhus integral of rational homology 3-spheres. I. A highly non trivial flat connection on $S^3$ », Selecta Math. 8 (2002), p. 315-339. | MR 1931167 | Zbl 1012.57015

[4] -, « The Aarhus integral of rational homology 3-spheres. II. Invariance and universality », Selecta Math. (N.S.) 8 (2002), p. 341-371. | MR 1931168 | Zbl 1012.57016

[5] A. J. Bene, N. Kawazumi & R. C. Penner - « Canonical extensions of the Johnson homomorphisms to the Torelli groupoid », Adv. Math. 221 (2009), p. 627-659. | MR 2508933 | Zbl 1206.32007

[6] N. Bourbaki - Éléments de mathématique. Fasc. XXXVII. Groupes et algèbres de Lie. Chapitre II: Algèbres de Lie libres. Chapitre III: Groupes de Lie, Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 1349, Hermann, 1972. | MR 573068 | Zbl 0244.22007

[7] D. Cheptea, K. Habiro & G. Massuyeau - « A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms », Geom. Topol. 12 (2008), p. 1091-1170. | MR 2403806 | Zbl 1148.57017

[8] T. D. Cochran, A. Gerges & K. E. Orr - « Dehn surgery equivalence relations on 3-manifolds », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 131 (2001), p. 97-127. | MR 1833077 | Zbl 0984.57010

[9] M. B. Day - « Extending Johnson's and Morita's homomorphisms to the mapping class group », Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), p. 1297-1326. | MR 2350283 | Zbl 1181.57025

[10] S. Garoufalidis, M. Goussarov & M. Polyak - « Calculus of clovers and finite type invariants of 3-manifolds », Geom. Topol. 5 (2001), p. 75-108. | MR 1812435 | Zbl 1066.57015

[11] S. Garoufalidis & J. Levine - « Tree-level invariants of three-manifolds, Massey products and the Johnson homomorphism », in Graphs and patterns in mathematics and theoretical physics, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 73, Amer. Math. Soc., 2005, p. 173-203. | MR 2131016 | Zbl 1086.57013

[12] M. Goussarov - « Finite type invariants and $n$-equivalence of $3$-manifolds », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 329 (1999), p. 517-522. | MR 1715131 | Zbl 0938.57013

[13] -, « Variations of knotted graphs. The geometric technique of $n$-equivalence », Algebra i Analiz 12 (2000), p. 79-125. | MR 1793618 | Zbl 0981.57006

[14] N. Habegger - « Milnor, Johnson, and tree level perturbative invariants », 2000, preprint http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~habegger/PS/john100300.ps. | MR 1835687

[15] N. Habegger & G. Masbaum - « The Kontsevich integral and Milnor's invariants », Topology 39 (2000), p. 1253-1289. | MR 1783857 | Zbl 0964.57011

[16] K. Habiro - « Claspers and finite type invariants of links », Geom. Topol. 4 (2000), p. 1-83. | MR 1735632 | Zbl 0941.57015

[17] A. Heap - « Bordism invariants of the mapping class group », Topology 45 (2006), p. 851-886. | MR 2248515 | Zbl 1156.57017

[18] K. Igusa & K. E. Orr - « Links, pictures and the homology of nilpotent groups », Topology 40 (2001), p. 1125-1166. | MR 1867241 | Zbl 1002.57012

[19] S. A. Jennings - « The group ring of a class of infinite nilpotent groups », Canad. J. Math. 7 (1955), p. 169-187. | MR 68540 | Zbl 0066.01302

[20] D. Johnson - « A survey of the Torelli group », in Low-dimensional topology (San Francisco, Calif., 1981), Contemp. Math., vol. 20, Amer. Math. Soc., 1983, p. 165-179. | MR 718141 | Zbl 0553.57002

[21] M. I. Kargapolov & J. I. Merzljakov - Fundamentals of the theory of groups, Graduate Texts in Math., vol. 62, Springer, 1979. | MR 551207 | Zbl 0549.20001

[22] N. Kawazumi - « Cohomological aspects of Magnus expansions », 2005, preprint arXiv:math/0505497.

[23] -, « Harmonic magnus expansion on the universal family of riemann surfaces », 2006, preprint arXiv:math/0603158. | MR 1953869

[24] T. Kerler - « Towards an algebraic characterization of 3-dimensional cobordisms », in Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000), Contemp. Math., vol. 318, Amer. Math. Soc., 2003, p. 141-173. | MR 1973515 | Zbl 1168.57313

[25] M. Kontsevich - « Formal (non)commutative symplectic geometry »1990-1992, Birkhäuser, 1993, p. 173-187. | MR 1247289 | Zbl 0821.58018

[26] -, « Feynman diagrams and low-dimensional topology », in First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progr. Math., vol. 120, Birkhäuser, 1994, p. 97-121. | MR 1341841 | Zbl 0872.57001

[27] T. T. Q. Le, J. Murakami & T. Ohtsuki - « On a universal perturbative invariant of $3$-manifolds », Topology 37 (1998), p. 539-574. | MR 1604883 | Zbl 0897.57017

[28] J. Levine - « Addendum and correction to: “Homology cylinders: an enlargement of the mapping class group” », Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), p. 1197-1204. | MR 1943338 | Zbl 1065.57501

[29] -, « Labeled binary planar trees and quasi-Lie algebras », Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), p. 935-948. | MR 2240921 | Zbl 1144.57009

[30] X.-S. Lin - « Power series expansions and invariants of links », in Geometric topology (Athens, GA, 1993), AMS/IP Stud. Adv. Math., vol. 2, Amer. Math. Soc., 1997, p. 184-202. | MR 1470727 | Zbl 0897.57006

[31] W. Magnus, A. Karrass & D. Solitar - Combinatorial group theory: Presentations of groups in terms of generators and relations, Interscience Publishers, New York-London-Sydney, 1966. | MR 207802 | Zbl 0138.25604

[32] S. Morita - « Abelian quotients of subgroups of the mapping class group of surfaces », Duke Math. J. 70 (1993), p. 699-726. | MR 1224104 | Zbl 0801.57011

[33] T. Ohtsuki - Quantum invariants, Series on Knots and Everything, vol. 29, World Scientific Publishing Co. Inc., 2002. | MR 1881401 | Zbl 0991.57001

[34] Ş. Papadima - « Finite determinacy phenomena for finitely presented groups », in Proceedings of the 2nd Gauss Symposium. Conference A: Mathematics and Theoretical Physics (Munich, 1993), Sympos. Gaussiana, de Gruyter, 1995, p. 507-528. | MR 1352516 | Zbl 0852.20023

[35] P. F. Pickel - « Rational cohomology of nilpotent groups and Lie algebras », Comm. Algebra 6 (1978), p. 409-419. | MR 491902 | Zbl 0403.20031

[36] C. Praagman - « Iterations and logarithms of formal automorphisms », Aequationes Math. 30 (1986), p. 151-160. | MR 843657 | Zbl 0589.39007

[37] D. Quillen - « On the associated graded ring of a group ring », J. Algebra 10 (1968), p. 411-418. | MR 231919 | Zbl 0192.35803

[38] -, « Rational homotopy theory », Ann. of Math. 90 (1969), p. 205-295. | MR 258031 | Zbl 0191.53702

[39] T. Sakasai - « Homology cylinders and the acyclic closure of a free group », Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), p. 603-631. | MR 2220691 | Zbl 1149.57001

[40] J. Stallings - « Homology and central series of groups », J. Algebra 2 (1965), p. 170-181. | MR 175956 | Zbl 0135.05201

[41] A. A. Suslin & M. Wodzicki - « Excision in algebraic $K$-theory », Ann. of Math. 136 (1992), p. 51-122. | MR 1173926 | Zbl 0756.18008

[42] V. G. Turaev - « Nilpotent homotopy types of closed $3$-manifolds », in Topology (Leningrad, 1982), Lecture Notes in Math., vol. 1060, Springer, 1984, p. 355-366. | MR 770255 | Zbl 0564.57008