Le théorème de Bertini en famille
Benoist, Olivier
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011), p. 555-569 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

On majore la dimension de l’ensemble des hypersurfaces de ℙ N dont l’intersection avec une variété projective intègre fixée n’est pas intègre. Les majorations obtenues sont optimales. Comme application, on construit, quand c’est possible, des hypersurfaces dont les intersections avec toutes les variétés d’une famille de variétés projectives intègres sont intègres. Le degré des hypersurfaces construites est explicite.

We give upper bounds for the dimension of the set of hypersurfaces of ℙ N whose intersection with a fixed integral projective variety is not integral. Our upper bounds are optimal. As an application, we construct, when possible, hypersurfaces whose intersections with all the varieties of a family of integral projective varieties are integral. The degree of the hypersurfaces we construct is explicit.

Publié le : 2011-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2619
Classification:  14N05,  14J70
Mots clés: géométrie projective, hypersurfaces, théorèmes de Bertini 
@article{BSMF_2011__139_4_555_0,
     author = {Benoist, Olivier},
     title = {Le th\'eor\`eme de Bertini en famille},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     volume = {139},
     year = {2011},
     pages = {555-569},
     doi = {10.24033/bsmf.2619},
     mrnumber = {2869305},
     zbl = {1244.14045},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2011__139_4_555_0}
}

Benoist, Olivier. Le théorème de Bertini en famille. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) pp. 555-569. doi : 10.24033/bsmf.2619. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2011__139_4_555_0/

[1] O. Debarre - « Varieties with ample cotangent bundle », Compos. Math. 141 (2005), p. 1445-1459. | MR 2188444 | Zbl 1086.14038

[2] A. Grothendieck - « Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 8 (1961), p. 222. | Numdam | Zbl 0118.36206

[3] -, « Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. I », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 11 (1961), p. 167. | Numdam | Zbl 0122.16102

[4] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. I », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 20 (1964), p. 259. | Numdam | Zbl 0136.15901

[5] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 24 (1965), p. 231. | Numdam | Zbl 0135.39701

[6] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 28 (1966), p. 255. | Numdam | Zbl 0144.19904

[7] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 32 (1967), p. 361. | Numdam | Zbl 0153.22301

[8] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001

[9] J.-P. Jouanolou - Théorèmes de Bertini et applications, Progress in Math., vol. 42, Birkhäuser Boston Inc., 1983. | MR 725671 | Zbl 0519.14002

[10] B. Poonen - « Bertini theorems over finite fields », Ann. of Math. 160 (2004), p. 1099-1127. | MR 2144974 | Zbl 1084.14026