Nous construisons des compactifications toroïdales arithmétiques du champ de modules des variétés abéliennes principalement polarisées munies d’une structure de niveau parahorique. Pour ce faire, nous étendons la méthode de Faltings et Chai [7] à un cas de mauvaise réduction. Le voisinage du bord des compactifications obtenues n’est pas lisse, mais a pour singularités celles des champs de modules de variétés abéliennes avec structure parahorique de genre plus petit. Nous sommes amenés à reprendre la construction des compactifications sans niveau de Faltings et Chai, en modifiant l’étape d’approximation pour préserver le groupe de -torsion des variétés abéliennes. Nous donnons comme application une nouvelle preuve de l’existence du sous-groupe canonique pour des familles de variétés abéliennes.
We construct arithmetic toroidal compactifications of the moduli stack of principally polarized abelian varieties with parahoric level structure. To this end, we extend the methods of Faltings and Chai [7] to a case of bad reduction. Our compactifications are not smooth near the boundary; the singularities are those of the moduli stacks of abelian varieties with parahoric level structure of lower genus. We modify Faltings and Chai’s construction of compactifications without level structure. The key point is that our approximation preserves the -torsion subgroup of the abelian varieties. As an application, we give a new proof of the existence of the canonical subgroup for some families of abelian varieties.
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Stroh, Benoît. Compactification de variétés de Siegel aux places de mauvaise réduction. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) pp. 259-315. doi : 10.24033/bsmf.2591. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2010__138_2_259_0/
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