Linearization of germs: regular dependence on the multiplier

[Linéarisation des germes : dépendance régulière du multiplicateur]

Marmi, Stefano ; Carminati, Carlo

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008), p. 533-564 / Harvested from Numdam

Résumé

On montre que la linéarisation d’un germe d’application holomorphe du type $F_\lambda (z)=\lambda (z+O(z^2))$ a une dépendence ${\mathcal {C}}^1$-holomorphe du multiplicateur $\lambda $. Les fonctions ${\mathcal {C}}^1$-holomorphes sont ${\mathcal {C}}^1$ au sens de Whitney, elles sont définies sur des compacts et elles appartiennent au noyau de l’operateur $\bar{\partial }$. La linéarisation est analytique pour $|\lambda |\ne 1$ et le circle $\mathbb {S}^1$ est sa frontière naturelle (due aux résonances, c’est-à-dire les racines de l’unité). Neamoins la linéarisation est encore définie dans la plupart des points de $\mathbb {S}^1$, plus précisement aux points qui se trouvent « assez loin des résonances »’ et qui correspondent à des conditions arithmétiques adéquates imposées au multiplicateur. Nous construisons une suite croissante d’ensembles compacts qui évitent les résonances et nous démontrons que la linéarisation appartient aux espaces associés aux fonctions ${\mathcal {C}}^1$-holomorphes. C’est un cas particulier de la théorie des fonctions monogènes uniformes de Borel [2], et les espaces de fonctions correspondants sont quasi-analytiques par chemins [11]. Comme conséquence nous montrons que la linéarisation a un développement asymptotique en $(\lambda - \lambda _0)$ dans tous les points $\lambda _0\in \mathbb {S}^1$ qui verifient la condition de Brjuno. En effet le developpement est du type Gevrey aux points diophantiens.

Abstract

We prove that the linearization of a germ of holomorphic map of the type $F_\lambda (z)=\lambda (z+O(z^2))$ has a ${\mathcal {C}}^1$-holomorphic dependence on the multiplier $\lambda $. ${\mathcal {C}}^1$-holomorphic functions are ${\mathcal {C}}^1$-Whitney smooth functions, defined on compact subsets and which belong to the kernel of the $\bar{\partial }$ operator. The linearization is analytic for $|\lambda |\ne 1$ and the unit circle $\mathbb {S}^1$ appears as a natural boundary (because of resonances, i.e. roots of unity). However the linearization is still defined at most points of ${\mathbb {S}}^1$, namely those points which lie “far enough from resonances”, i.e. when the multiplier satisfies a suitable arithmetical condition. We construct an increasing sequence of compacts which avoid resonances and prove that the linearization belongs to the associated spaces of ${\mathcal {C}}^1$-holomorphic functions. This is a special case of Borel’s theory of uniform monogenic functions [2], and the corresponding function space is arcwise-quasianalytic [11]. Among the consequences of these results, we can prove that the linearization admits an asymptotic expansion w.r.t. the multiplier at all points of the unit circle verifying the Brjuno condition: in fact the asymptotic expansion is of Gevrey type at diophantine points.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2443035 | Zbl 1175.37050

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2565
Classification:  37F50,  37F25
Mots clés: petits diviseurs, linéarisation, fonctions monogènes, espace quasi-analytique, expansion asymptotique, condition dipohantine

Bibliographie

[1] V. I. Arnold - « On the mappings of the circumference onto itself », Translations of the Amer. Math. Soc. 46 (1961), p. 213-284. | Zbl 0152.41905

[2] E. Borel - Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d'une variable complexe, Gauthier-Villars, 1917. | JFM 46.0465.03

[3] A. D. Brjuno - « Analytic form of differential equations. I, II », Trudy Moskov. Mat. Obšč. 25 (1971), p. 119-262; ibid. 26 (1972), 199-239. | MR 377192 | Zbl 0263.34003

[4] T. Carletti & S. Marmi - « Linearization of analytic and non-analytic germs of diffeomorphisms of $({\bf C},0)$ », Bull. Soc. Math. France 128 (2000), p. 69-85. | Numdam | MR 1765828 | Zbl 0997.37017

[5] A. M. Davie - « The critical function for the semistandard map », Nonlinearity 7 (1994), p. 219-229. | MR 1260138 | Zbl 0997.37500

[6] G. H. Hardy & E. M. Wright - An introduction to the theory of numbers, fifth éd., The Clarendon Press Oxford University Press, 1979. | MR 568909 | Zbl 0086.25803

[7] M.-R. Herman - « Simple proofs of local conjugacy theorems for diffeomorphisms of the circle with almost every rotation number », Bol. Soc. Brasil. Mat. 16 (1985), p. 45-83. | MR 819805 | Zbl 0651.58008

[8] A. Y. Khinchin - Continued fractions, The University of Chicago Press, Chicago, Ill.-London, 1964. | MR 161833 | Zbl 0117.28601

[9] A. N. Kolmogorov - « The general theory of dynamical systems and classical mechanics », in International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954. | Zbl 0095.17103

[10] S. Marmi & D. Sauzin - « Quasianalytic monogenic solutions of a cohomological equation », Mem. Amer. Math. Soc. 164 (2003), p. 83. | MR 1982715 | Zbl 1054.30046

[11] -, « A quasianalyticity property for monogenic solutions of small divisor problems », preprint arXiv:0706.0138v1, 2007. | Zbl 1209.37053

[12] J. Pöschel - « Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets », Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), p. 653-696. | MR 668410 | Zbl 0542.58015

[13] E. Risler - « Linéarisation des perturbations holomorphes des rotations et applications », Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (1999), p. 102. | Numdam | MR 1779976 | Zbl 0929.37017

[14] W. T. Ross & H. S. Shapiro - Generalized analytic continuation, University Lecture Series, vol. 25, American Mathematical Society, 2002. | MR 1895624 | Zbl 1009.30002

[15] V. Thilliez - « Quelques propriétés de quasi-analyticité », Gaz. Math. (1996), p. 49-68. | MR 1423692 | Zbl 0918.26015

[16] H. Whitney - « Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets », Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), p. 63-89. | MR 1501735 | Zbl 0008.24902

[17] J. Winkler - « A uniqueness theorem for monogenic functions », Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 18 (1993), p. 105-116. | MR 1207898 | Zbl 0784.30031

[18] J.-C. Yoccoz - « Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques », Astérisque (1995), p. 3-88, Petits diviseurs en dimension $1$. | MR 1367353

[19] -, « Analytic linearization of circle diffeomorphisms », in Dynamical systems and small divisors (Cetraro, 1998), Lecture Notes in Math., vol. 1784, Springer, 2002, p. 125-173. | MR 1924912 | Zbl pre05810605