Integral representations for solutions of exponential Gauß-Manin systems

[Représentations intégrales des solutions des systèmes de Gauß-Manin exponentiels]

Hien, Marco ; Roucairol, Céline

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008), p. 505-532 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $f,g:U\rightarrow \mathbb {A}^1$ deux fonctions régulières sur une variété affine lisse $U$ à valeurs dans la droite affine. On leurs associe des systèmes de Gauß-Manin sur la droite affine définis comme étant les faisceaux de cohomology de l’image directe par $f$ du système différentiel exponentiel $\mathcal {O}_Ue^g$. Nous prouvons que leurs solutions holomorphes admettent des représentations sous forme d’intégrales de périodes sur des chaînes topologiques à support éventuellement fermé avec une condition de décroissance rapide.

Abstract

Let $f,g:U \rightarrow {\mathbb {A}}^1 $ be two regular functions from the smooth affine complex variety $U $ to the affine line. The associated exponential Gauß-Manin systems on the affine line are defined to be the cohomology sheaves of the direct image of the exponential differential system $\mathcal {O}_U e^g $ with respect to $f $. We prove that its holomorphic solutions admit representations in terms of period integrals over topological chains with possibly closed support and with rapid decay condition.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2443034 | Zbl 1171.32019 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2564
Classification:  32S40,  32C38,  14F40
Mots clés: systèmes de gauß-Manin, $\mathcal {D}$-modules

Bibliographie

[1] S. Bloch & H. Esnault - « Homology for irregular connections », J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), p. 357-371. | Numdam | MR 2143558 | Zbl 1075.14016

[2] A. Borel - Algebraic $\mathcal {D}$-modules, Perspectives in Math., vol. 2, Academic Press, 1987. | Zbl 0642.32001

[3] A. Dimca, F. Maaref, C. Sabbah & M. Saito - « Dwork cohomology and algebraic $\mathcal {D}$-modules », Math. Ann. 318 (2000), p. 107-125. | MR 1785578 | Zbl 0985.14007

[4] A. Dimca & M. Saito - « On the cohomology of a general fiber of a polynomial map », Compositio Math. 85 (1993), p. 299-309. | Numdam | MR 1214449 | Zbl 0824.14016

[5] M. Hien - « Periods for irregular singular connections on surfaces », Math. Ann. 337 (2007), p. 631-669. | MR 2274546 | Zbl 1118.14024

[6] N. M. Katz - « On the calculation of some differential Galois groups », Invent. Math. 87 (1987), p. 13-61. | MR 862711 | Zbl 0609.12025

[7] F. Maaref - « Sur un analogue irrégulier de la connexion de Gauss-Manin », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 8 (1999), p. 117-124. | Numdam | MR 1721566 | Zbl 0965.32020

[8] H. Majima - Asymptotic analysis for integrable connections with irregular singular points, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1075, Springer, 1984. | MR 757897 | Zbl 0546.58003

[9] B. Malgrange - Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Mathematics, vol. 96, Birkhäuser, 1991. | MR 1117227 | Zbl 0764.32001

[10] F. Pham - Singularités des systèmes différentiels de Gauss-Manin, Progress in Mathematics, vol. 2, Birkhäuser, 1979. | Zbl 0524.32015

[11] -, « La descente des cols par les onglets de Lefschetz, avec vues sur Gauss-Manin », Astérisque 130 (1985), p. 11-47. | MR 804048 | Zbl 0597.32012

[12] -, Intégrales singulières, Savoirs Actuels, EDP Sciences/CNRS Éditions, 2005. | Zbl 1125.42001

[13] C. Roucairol - « Irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems », Bull. Soc. Math. France 134 (2006), p. 269-286. | Numdam | MR 2233709 | Zbl 1122.32019

[14] -, « The irregularity of the direct image of some $\mathcal {D}$-modules », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 (2006), p. 923-932. | MR 2289081 | Zbl 1132.32005

[15] -, « Formal structure of direct image of holonomic $\mathcal {D}$-modules of exponential type », Manuscripta Math. 124 (2007), p. 299-318. | MR 2350548 | Zbl 1140.32021

[16] C. Sabbah - « Équations différentielles à points singuliers irréguliers en dimension $2$ », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 43 (1993), p. 1619-1688. | Numdam | MR 1275212 | Zbl 0803.32005

[17] -, « Équations différentielles à points singuliers irréguliers et phénomène de Stokes en dimension 2 », Astérisque 263 (2000), p. 190. | Zbl 0947.32005

[18] R. G. Swan - « The theory of sheaves », 1964. | Zbl 0119.25801

[19] J.-L. Verdier - « Classe d'homologie associée à un cycle », in Séminaire de géométrie analytique (École Norm. Sup., Paris, 1974-75) Astérisque 36-37 (1976), p. 101-151. | MR 447623 | Zbl 0346.14005

[20] -, « Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard », Invent. Math. 36 (1976), p. 295-312. | MR 481096 | Zbl 0333.32010