Rational BV-algebra in string topology

[BV-algèbres rationnelles en topologie des lacets libres]

Félix, Yves ; Thomas, Jean-Claude

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008), p. 311-327 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $M$ une variété simplement connexe compacte sans bord de dimension $m$. Désignons par $LM$ l’espace des lacets libres sur $M$. M. Chas et D. Sullivan ont défini une structure de BV-algèbre sur l’homologie singulière $H_\ast (LM;k)$. Lorsque l’anneau des coefficients $k$ est un corps de caractéristique nulle, nous établissons l’existence d’une structure de BV-algèbre sur la cohomologie de Hochschild $HH^\ast (C^\ast (M);C^\ast (M))$ qui étend la structure canonique d’algèbre de Gerstenhaber. De plus nous construisons un isomorphisme de BV-algèbres entre $H_{\ast +m} (LM;k)$ et $HH^\ast (C^\ast (M);C^\ast (M))$. Finalement nous démontrons que le produit de Chas-Sullivan ainsi que le BV-opérateur sont compatibles avec la décomposition de Hodge de $H_\ast (LM;k)$.

Abstract

Let $M$ be a 1-connected closed manifold of dimension $m$ and $LM$ be the space of free loops on $M$. M.Chas and D.Sullivan defined a structure of BV-algebra on the singular homology of $LM$, $H_\ast (LM; k)$. When the ring of coefficients is a field of characteristic zero, we prove that there exists a BV-algebra structure on the Hochschild cohomology $HH^\ast (C^\ast (M); C^\ast (M))$ which extends the canonical structure of Gerstenhaber algebra. We construct then an isomorphism of BV-algebras between $HH^\ast (C^\ast (M); C^\ast (M)) $ and the shifted homology $ H_{\ast +m} (LM; k)$. We also prove that the Chas-Sullivan product and the BV-operator behave well with a Hodge decomposition of $H_\ast (LM)$.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2415345 | Zbl 1160.55006 | 6 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2558
Classification:  55P35,  54N33,  81T30

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