Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé

Montagard, Pierre-Louis ; Ressayre, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007), p. 343-365 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $G\subset \hat{G}$ deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons $\mathcal {D}$ (resp. $\hat{\mathcal {D}}$) l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de $G$ (resp. de $\hat{G}$). Nous nous intéressons à l’ensemble $\mathcal {C}$ des couples $(\mu ,\hat{\nu })$ dans $\mathcal {D}\times \hat{\mathcal {D}}$ pour lesquels un $\hat{G}$-module de classe $\hat{\nu }$ contient un sous-$G$-module de classe $\mu $. Il est bien connu que $\mathcal {C}$ engendre un cône polyédral dans l’espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de $G$ avec le groupe des caractères de $\hat{G}$. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant $\mathcal {D}$ induit une face de codimension un du cône engendré par $\mathcal {C}$. Nous appliquons ces résultats à des exemples classiques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).

Abstract

Let $\hat{G}$ be a connected reductive algebraic group and $G$ be a reductive closed and connected subgroup of $\hat{G}$ both defined over an algebraically closed field of characteristic zero. Let $\mathcal {D}$ (resp. $\hat{\mathcal {D}}$) the set of isomorphism classes of irreducible representations of $G$ (resp. $\hat{G}$). We consider the set of elements $(\mu ,\hat{\nu })\in ({\mathcal {D}}, \hat{\mathcal {D}})$ such that an irreducible $G$-module of class $\mu $ is a submodule of a $\hat{G}$-module of class $\hat{\nu }$. This set generate a polyhedral cone $\mathcal {C}$ in the rational vector space generated by the product of characters of $G$ and $\hat{G}$. By Geometric Invariant Theory methods we give, in particular, a sufficient condition for a linear inequality defining $\mathcal {D}$ to induce a face of codimension one of $\mathcal {C}$. We apply our results to several classical example in representation theory (tensor products and plethysm).

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2430185 | Zbl 1172.20033

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2538
Classification:  20G05
Mots clés: représentations, décomposition de représentations, cône de Littlewood-Richardson, produit tensoriel, pléthysme

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