Constantes de Sobolev des arbres

Bourdon, Marc

Bourdon, Marc

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007), p. 93-103 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

Étant donnés $p \in [1, + \infty [$ et un arbre $T$ dont chaque sommet est de valence au moins $3$ , on étudie la constante de Sobolev d’exposant $p$ de $T$ , c’est-à-dire la plus petite constante $σ_{p}$ telle que pour tout $u \in ℓ_{p} (T^{0})$ on ait ${∥ u ∥}_{p}^{p} \leq σ_{p} {∥ d u ∥}_{p}^{p}$ . Notre motivation vient de la recherche de graphes finis avec des petites constantes de Poincaré d’exposant $p$ , en vue d’obtenir des exemples de groupes qui ont la propriété de point fixe sur les espaces $L^{p}$ .

For $p \in [1, + \infty [$ and for any tree $T$ of valency at least $3$ , we study the Sobolev constant of exponent $p$ of $T$ , that is the smallest constant $σ_{p}$ such that for every $u \in ℓ_{p} (T)$ , one has ${∥ u ∥}_{p}^{p} \leq σ_{p} {∥ d u ∥}_{p}^{p}$ . Our motivation comes from the search of finite graphs with small Poincaré constants of exponent $p$ , in order to construct examples of groups which admit the fixed point property on $L^{p}$ -spaces.

Publié le : 2007-01-01

MR 2430200 | Zbl 1152.58013

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2527
Classification: 58E35, 31C45
Mots clés: constantes de Sobolev, constantes de poincaré, arbres, graphes

@article{BSMF_2007__135_1_93_0,
     author = {Bourdon, Marc},
     title = {Constantes de Sobolev des arbres},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     volume = {135},
     year = {2007},
     pages = {93-103},
     doi = {10.24033/bsmf.2527},
     mrnumber = {2430200},
     zbl = {1152.58013},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2007__135_1_93_0}
}

Bourdon, Marc. Constantes de Sobolev des arbres. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) pp. 93-103. doi : 10.24033/bsmf.2527. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2007__135_1_93_0/

Bibliographie

[1] U. Bader, A. Furman, T. Gelander & N. Monod - « Property $(T)$ and rigidity for actions on Banach spaces », Acta Math. 198 (2007), p. 57-105. | MR 2316269 | Zbl 1162.22005

[2] W. Ballmann & J. Swiatkowski - « On $L^{2}$ -cohomology and property $(T)$ for automorphism groups of polyedral cell complexes », Geom. Funct. Anal. 7 (1997), p. 615-645. | MR 1465598 | Zbl 0897.22007

[3] I. Chavel - « Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic perspectives », Cambridge Tracts in Math. 145 (2001). | MR 1849187 | Zbl 0988.51019

[4] É. Ghys - « Groupes aléatoires (d'après Misha Gromov,...) », in Séminaire Bourbaki, vol. 2002/2003, Astérisque, vol. 294, Soc. Math. France, 2004, mars 2003, exp. no 916. | Numdam | Zbl 1134.20306

[5] M. Gromov - « Random walk in random groups », Geom. Funct. Anal. 13 (2003), p. 73-146. | MR 1978492 | Zbl 1122.20021

[6] I. Holopainen & P. Soardi - « $p$ -harmonic functions on graphs and manifolds », Manuscripta Math. 94 (1997), p. 95-110. | MR 1468937 | Zbl 0898.31007

[7] H. Izeki & S. Nayatani - « Combinatorial harmonic maps and discrete-group actions on Hadamard spaces », Geom. Dedicata 114 (2005), p. 147-188. | MR 2174098 | Zbl 1108.58014

[8] A. Lubotzky - Discrete groups, expanding graphs and invariant measures, Progr. Math., vol. 125, 1994. | MR 1308046 | Zbl 0826.22012

[9] P. Pansu - « Formules de Matsushima, de Garland et propriété $(T)$ pour des groupes agissant sur des espaces symétriques ou des immeubles », Bull. Soc. Math. France 126 (1998), p. 107-139. | Numdam | MR 1651383 | Zbl 0933.22009

[10] A. Żuk - « La propriété $(T)$ de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I 323 (1996), p. 453-458. | MR 1408975 | Zbl 0858.22007