Pointed $k$-surfaces

[$k$-surfaces à points]

Smith, Graham

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006), p. 509-557 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $S$ une surface de Riemann. Soit $\mathbb {H}^3$ l’espace hyperbolique de dimension $3$ et soit $\partial _\infty \mathbb {H}^3$ son bord à l’infini. Dans le cadre de cet article, un problème de Plateau est une application localement holomorphe $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty \mathbb {H}^3=\hat{\mathbb {C}}$. Si $i:S\rightarrow \mathbb {H}^3$ est une immersion convexe, et si $N$ est son champ de vecteurs normal, on définit $\hat{\imath }$, la relevée de Gauss de $i$, par $\hat{\imath }=N$. Soit $\overrightarrow{n}:U\mathbb {H}^3\rightarrow \partial _\infty \mathbb {H}^3$ l’application de Gauss-Minkowski. Une solution au problème de Plateau $(S,\varphi )$ est une immersion convexe $i$ à courbure gaussienne constante égale à $k\in \mathopen ]0,1\mathclose [$ telle que sa relevée de Gauss $(S,\hat{\imath })$ soit complète en tant que sous-variété immergée et que $\overrightarrow{n}\circ \hat{\imath }=\varphi $. Dans cet article, on montre que, si $S$ est une surface de Riemannn compacte, si $\mathcal {P}$ est un sous-ensemble discret de $S$ et si $\varphi :S\rightarrow \hat{\mathbb {C}}$ est un revêtement ramifié, alors, pour tout $p_0\in \mathcal {P}$, la solution $(S\setminus \mathcal {P},i)$ au problème de Plateau $(S\setminus \mathcal {P},\varphi )$ converge asymptotiquement vers un cylindre qui s’enroule un nombre fini $k$ de fois autour d’une géodésique ayant $\varphi (p_0)$ pour une de ses extrémités lorsqu’on s’approche de $p_0$. De plus, $k$ est égale à l’ordre de ramification de $\varphi $ en $p_0$. On obtient également une réciproque de ce résultat nous permettant de décrire entièrement les surfaces complètes immergées dans $\mathbb {H}^3$ à courbure gaussienne constante et aux bouts cylindriques.

Abstract

Let $S$ be a Riemann surface. Let $\mathbb {H}^3$ be the $3$-dimensional hyperbolic space and let $\partial _\infty \mathbb {H}^3$ be its ideal boundary. In our context, a Plateau problem is a locally holomorphic mapping $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty \mathbb {H}^3=\widehat{\mathbb {C}}$. If $i:S\rightarrow \mathbb {H}^3$ is a convex immersion, and if $N$ is its exterior normal vector field, we define the Gauss lifting, $\hat{\imath }$, of $i$ by $\hat{\imath }=N$. Let $\overrightarrow{n}:U\mathbb {H}^3\rightarrow \partial _\infty \mathbb {H}^3$ be the Gauss-Minkowski mapping. A solution to the Plateau problem $(S,\varphi )$ is a convex immersion $i$ of constant Gaussian curvature equal to $k\in (0,1)$ such that the Gauss lifting $(S,\hat{\imath })$ is complete and $\overrightarrow{n}\circ \hat{\imath }=\varphi $. In this paper, we show that, if $S$ is a compact Riemann surface, if $\mathcal {P}$ is a discrete subset of $S$ and if $\varphi :S\rightarrow \widehat{\mathbb {C}}$ is a ramified covering, then, for all $p_0\in \mathcal {P}$, the solution $(S\setminus \mathcal {P},i)$ to the Plateau problem $(S\setminus \mathcal {P},\varphi )$ converges asymptotically as one tends to $p_0$ to a cylinder wrapping a finite number, $k$, of times about a geodesic terminating at $\varphi (p_0)$. Moreover, $k$ is equal to the order of ramification of $\varphi $ at $p_0$. We also obtain a converse of this result, thus completely describing complete, constant Gaussian curvature, immersed hypersurfaces in $\mathbb {H}^3$ with cylindrical ends.

Détail

Publié le : 2006-01-01

MR 2364943 | Zbl 1138.53051

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2521
Classification:  53C42,  30F60,  32Q65,  51M10,  53C45,  53D10,  58D10
Mots clés: hypersurfaces immergées, courbes pseudo-holomorphes, problème de plateau, courbure gaussienne, théorie de teichmüller

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