Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane
Colbois, Bruno ; Vernicos, Constantin
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006), p. 357-381 / Harvested from Numdam
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On montre l'équivalence entre l'hyperbolicité au sens de Gromov de la géométrie de Hilbert d'un domaine convexe du plan et la non nullité du bas du spectre de ce domaine.

We prove that the Hilbert geometry of a convex domain in the plane is Gromov hyperbolic, if, and only if, the bottom of its spectrum is not zero.

Publié le : 2006-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2513
Mots clés: géométrie de Hilbert, hyperbolicité, bas du spectre 
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Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin. Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) pp. 357-381. doi : 10.24033/bsmf.2513. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2006__134_3_357_0/

[1] Y. Benoist - « Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 97 (2003), p. 181-237. | Numdam | MR 2010741 | Zbl 1049.53027

[2] J. Benzécri - « Sur les variétés localement affines et localement projectives », Bull. Soc. Math. France 88 (1960), p. 229-232. | Numdam | MR 124005 | Zbl 0098.35204

[3] M. Bridson & A. Haefliger - Metric spaces of non-positive curvature, Comprehensive Studies in Mathematics, vol. 319, Springer, 1999. | MR 1744486 | Zbl 0988.53001

[4] D. Burago, Y. Burago & S. Ivanov - A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. | MR 1835418 | Zbl 0981.51016

[5] J. Cao - « Cheeger isoperimetric constants of Gromov-hyperbolic spaces with quasi-poles », Commun. Contemp. Math. 2 (2000), p. 511-533. | MR 1806945 | Zbl 0981.53021

[6] I. Chavel - Riemannian geometry : a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 108, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. | MR 1271141 | Zbl 0810.53001

[7] B. Colbois, C. Vernicos & P. Verovic - « L'aire des triangles idéaux en géométrie de Hilbert », Enseign. Math. 50 (2004), no. 3-4, p. 203-237. | MR 2116715 | Zbl 1079.53110

[8] B. Colbois & P. Verovic - « Hilbert geometry for strictly convex domains », Geom. Dedicata 105 (2004), p. 29-42. | MR 2057242 | Zbl 1078.52002

[9] P. De La Harpe - « On Hilbert's metric for simplices », Geometric group theory, Vol. 1 (Sussex, 1991), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, p. 97-119. | MR 1238518 | Zbl 0832.52002

[10] L. Hörmander - Notions of convexity, Progress in Mathematics, vol. 127, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1994. | MR 1301332 | Zbl 0835.32001

[11] A. Karlsson & G. A. Noskov - « The Hilbert metric and Gromov hyperbolicity », Enseign. Math. (2) 48 (2002), p. 73-89. | MR 1923418 | Zbl 1046.53026

[12] Z. Shen - Lectures on Finsler geometry, World Scientific, 2001. | MR 1845637 | Zbl 0974.53002

[13] E. Socié-Méthou - « Caractérisation des ellipsoïdes par leurs groupes d'automorphismes », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35 (2002), p. 537-548. | Numdam | Zbl 1040.32021

[14] -, « Behaviour of distance functions in Hilbert-Finsler geometry », Differential Geom. Appl. 20 (2004), p. 1-10. | MR 2030163 | Zbl 1055.53057

[15] A. Thompson - Minkowski geometry, Encyclopedia of Mathematics and its applications, vol. 63, Cambridge University Press, 1996. | MR 1406315 | Zbl 0868.52001

[16] C. Vernicos - « The macroscopic sound of tori », Pacific J. Math. 213 (2004), p. 121-156. | MR 2040254 | Zbl 1054.58025