Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple

Moreau, Anne

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006), p. 83-117 / Harvested from Numdam

Résumé

L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $\mathfrak {g}$ est semi-simple, son indice, $\operatorname{ind}\mathfrak {g}$, est égal à son rang, $\operatorname{rg}\mathfrak {g}$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ pour $e$ nilpotent, où $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ est le normalisateur dans $\mathfrak {g}$ du centralisateur $\mathfrak {g}^{e}$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev : ind𝔫(𝔤 e )=rg𝔤-dim𝔷(𝔤 e ), où $\mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})$ est le centre de $\mathfrak {g}^{e}$. Panyushev obtient l’inégalité ${\operatorname{ind}\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e}) \ge \operatorname{rg}\mathfrak {g}-\dim \mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})}$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique ${\mathcal {S}}(\mathfrak {g}^{e})$ implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.

Abstract

The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $\mathfrak {g}$ semisimple, then its index, $\operatorname{ind}\mathfrak {g}$, is equal to its rank, ${\rm rk}~\mathfrak {g}$. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$, for $e$ nilpotent, where $\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e})$ is the normaliser in $\mathfrak {g}$ of the centraliser $\mathfrak {g}^{e}$ of $e$. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003): ind𝔫(𝔤 e )= rk 𝔤-dim𝔷(𝔤 e ), where $\mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})$ is the centre of $\mathfrak {g}^{e}$. Panyushev (2003) obtained the inequality $\operatorname{ind}\mathfrak {n}(\mathfrak {g}^{e}) \ge \operatorname{rg}\mathfrak {g}-\dim \mathfrak {z}(\mathfrak {g}^{e})$ and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra ${\mathcal {S}}(\mathfrak {g}^{e})$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

Détail

Publié le : 2006-01-01

MR 2233701 | Zbl 1122.17004 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2502
Classification:  22-04,  22E46,  22E60,  17B10,  17B20
Mots clés: indice, représentation, algèbre de Lie, normalisateur, centralisateur, élément nilpotent

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