Distribution des préimages et des points périodiques d'une correspondance polynomiale

Dinh, Tien-Cuong

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005), p. 363-394 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous construisons pour toute correspondance polynomiale $F$ d’exposant de Lojasiewicz $ℓ > 1$ une mesure d’équilibre $μ$ . Nous montrons que $μ$ est approximable par les préimages d’un point générique et que les points périodiques répulsifs sont équidistribués sur le support de $μ$ . En utilisant ces résultats, nous donnons une caractérisation des ensembles d’unicité pour les polynômes.

We construct an equilibrium measure $μ$ for a polynomial correspondence $F$ of Lojasiewicz exponent $ℓ > 1$ . We then show that $μ$ can be built as the distribution of preimages of a generic point and that the repelling periodic points are equidistributed on the support of $μ$ . Using these results, we will give a characterization of infinite uniqueness sets for polynomials.

Publié le : 2005-01-01

MR 2169823 | Zbl 1090.37032 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2491
Classification: 37F, 32H, 32H30, 32H50
Mots clés: correspondance, mesure d'équilibre, ensemble exceptionnel, point périodique, ensemble d'unicité

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Dinh, Tien-Cuong. Distribution des préimages et des points périodiques d'une correspondance polynomiale. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) pp. 363-394. doi : 10.24033/bsmf.2491. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2005__133_3_363_0/

Bibliographie

[1] H. Alexander - « Projective capacity », Ann. Math. Studies, vol. 100, Princeton University Press, 1981, p. 3-27. | MR 627747 | Zbl 0494.32001

[2] E. Bedford & J. Smillie - « External rays in dynamics of polynomial automorphisms of $ℂ^{2}$ », vol. 222, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, p. 41-79. | MR 1653043 | Zbl 0922.58067

[3] J. Briend & J. Duval - « Exposants de Liapounoff et distribution des points périodiques d’un endomorphisme de $ℂ ¶^{k}$ », 182 (1999), p. 143-157. | MR 1710180 | Zbl 1144.37436

[4] -, « Deux caractérisations de la mesure d’équilibre d’un endomorphisme de $¶^{k} (ℂ)$ », 93 (2001), p. 145-159. | Numdam | Zbl 1010.37004

[5] H. Brolin - « Invariant sets under iteration of rational functions », 6 (1965), p. 103-144. | MR 194595 | Zbl 0127.03401

[6] L. Clozel & E. Ullmo - « Correspondances modulaires et mesures invariantes », 558 (2003), p. 47-83. | MR 1979182 | Zbl 1042.11027

[7] -, « Équidistribution des points de Hecke », Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 2004, p. 193-254. | Zbl 1068.11042

[8] I. Cornfeld, S. Fomin & Y. Sinai - Ergodic theory, Grundlehren Math. Wiss., vol. 245, Springer Verlag, NewYork-Berlin, 1962. | MR 832433 | Zbl 0493.28007

[9] T.-C. Dinh - « Ensembles d'unicité pour les polynômes », Ergodic Theory Dynamical Systems 22 (2002), p. 171-186. | MR 1889569 | Zbl 1003.37032

[10] -, « Suites d'applications méromorphes multivaluées et courants laminaires », J. Geom. Anal. (à paraître). | Zbl 1085.37039

[11] T.-C. Dinh & N. Sibony - « Sur les endomorphismes holomorphes permutables de $¶^{k}$ », 324 (2002), p. 33-70. | MR 1931758 | Zbl 1090.32009

[12] -, « Distribution des valeurs de transformations méromorphes et applications », prépublication, arXiv : math.DS/0306095, 2003.

[13] -, « Dynamique des applications d'allure polynomiale », 82 (2003), p. 367-423. | MR 1992375 | Zbl 1033.37023

[14] -, « Dynamique des applications polynomiales semi-régulières », 42 (2004), p. 61-85. | MR 2056545 | Zbl 1059.37033

[15] -, « Green currents for holomorphic automorphisms on compact Kähler manifolds », 18 (2005), p. 291-312. | MR 2137979 | Zbl 1066.32024

[16] A. Eremenko - « On some functional equations connected with iteration of rational function », Leningrad Math. J. 1 (1990), p. 905-919. | MR 1027462 | Zbl 0724.39006

[17] P. Fatou - « Sur l'itération analytique et les substitutions permutables », J. Math. 2 (1923), p. 343. | JFM 49.0712.03

[18] J. Fornæss - Dynamics in several complex variables, CBMS, vol. 81, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996. | MR 1363948 | Zbl 0840.58016

[19] J. Fornæss & N. Sibony - « Complex dynamics in higher dimension », Complex potential theory (Montréal, PQ, 1993), Nato ASI Series Math. and Phys. Sci., vol. C439, Kluwer, 1994, p. 131-186. | MR 1332961 | Zbl 0811.32019

[20] A. Freire, A. Lopes & R. Mañé - « An invariant measure for rational maps », Bol. Soc. Brasil. Mat. 14 (1983), p. 45-62. | MR 736568 | Zbl 0568.58027

[21] F. Gross & C. Yang - « On preimage and range sets of meromorphic functions », Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 58 (1982), p. 17-20. | MR 649056 | Zbl 0501.30026

[22] V. Guedj - « Ergodic properties of rational mappings with large topological degree », prépublication, 2003. | Zbl 1088.37020

[23] L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operatorsI, Springer-Verlag, 1983. | Zbl 0521.35002

[24] G. Julia - « Mémoire sur la permutabilité des fractions rationnelles », Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (1922), p. 131-215. | JFM 48.0364.02 | Numdam | MR 1509242

[25] M. Klimek - Pluripotential theory, Oxford Univ. Press, 1995. | MR 1150978 | Zbl 0742.31001

[26] M. Lyubich - « Entropy properties of rational endomorphisms of the Riemann sphere », Ergodic Theory Dynamical Systems 3 (1983), p. 351-385. | MR 741393 | Zbl 0537.58035

[27] M. Méo - « Image inverse d'un courant positif fermé par une application surjective », 322 (1996), p. 1141-1144. | MR 1396655 | Zbl 0858.32012

[28] R. Nevanlinna - « Einige Eideutigkeitss atze in der Theorie der meromorphen Funktionen », 48 (1926), p. 367-391. | JFM 52.0323.03 | MR 1555233

[29] I. Ostrovskii, F. Pakovitch & M. Zaidenberg - « A remark on complex polynomial of least deviation », 14 (1996), p. 699-703. | MR 1411590 | Zbl 0914.30003

[30] A. Ploski - « On the growth of proper polynomial mappings », XLV (1985), p. 297-309. | MR 817547 | Zbl 0584.32006

[31] J. Ritt - « Permutable rational functions », 25 (1923), p. 399-448. | JFM 49.0712.02 | MR 1501252

[32] A. Russakovskii & B. Shiffman - « Value distribution for sequences of rational mappings and complex dynamics », 46 (1997), p. 897-932. | MR 1488341 | Zbl 0901.58023

[33] B. Shiffman - « Uniqueness of entire and meromorphic functions sharing finite sets », 43 (2001), p. 433-449. | MR 1821663 | Zbl 1022.30034

[34] N. Sibony - « Dynamique des applications rationnelles de $ℙ^{k}$ », Dynamique et géométrie complexes, Panoramas & Synthèses, vol. 8, Société Mathématique de France, Paris, 1999, p. 97-185. | MR 1760844 | Zbl 1020.37026

[35] N. Sibony & P. Wong - « Some results on global analytic sets », Séminaire Lelong-Skoda, vol. 822, Springer, 1980, p. 221-237. | MR 599029 | Zbl 0444.32006

[36] C. Voisin - « Intrinsic pseudovolume forms and $K$ -correspondences », The Fano Conference, Univ. Torino, Turin, 2004, p. 761-792. | MR 2112602 | Zbl 1177.14040