Soit une surface projective fibrée au-dessus d’une courbe et définie sur un corps de nombres . Nous donnons une interprétation du rang du groupe de Mordell-Weil sur de la jacobienne de la fibre générique (modulo la partie constante) en termes de moyenne des traces de Frobenius sur les fibres de . L’énoncé fournit une réinterprétation de la conjecture de Tate pour la surface et généralise des résultats de Nagao, Rosen-Silverman et Wazir.
Let be a projective surface fibered over a curve and defined over a number field . We give an interpretation of the rank of the Mordell-Weil group over of the jacobian of the generic fibre (modulo the constant part) in terms of average of the traces of Frobenius on the fibers of . The results also give a reinterpretation of the Tate conjecture for the surface and generalizes results of Nagao, Rosen-Silverman and Wazir.
@article{BSMF_2005__133_2_275_0,
author = {Hindry, Marc and Pacheco, Am\'\i lcar},
title = {Sur le rang des jacobiennes sur un corps de fonctions},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
volume = {133},
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pages = {275-295},
doi = {10.24033/bsmf.2487},
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Hindry, Marc; Pacheco, Amílcar. Sur le rang des jacobiennes sur un corps de fonctions. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) pp. 275-295. doi : 10.24033/bsmf.2487. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2005__133_2_275_0/
[1] & - « Degenerate fibers and reduction of curves », 10 (1971), p. 373-383. | MR 476756 | Zbl 0196.24403
[2] - Algebraic surfaces, Springer-Verlag, 2001, éd. roumaine, Suprafete Algebrice, 1981. | MR 1805816 | Zbl 0965.14001
[3] - Surfaces algébriques complexes, vol. 54, Société Mathématique de France, 1978. | MR 485887 | Zbl 0394.14014
[4] - « Conjectures de Weil I », 43 (1974), p. 273-307. | Numdam | MR 340258 | Zbl 0287.14001
[5] -(éd.) - Cohomologie étale (SGA 4 1/2), Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, vol. 569, Springer, 1976.
[6] - Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1983.
[7] - Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970. | MR 282947 | Zbl 0211.38404
[8] -, Abelian Varieties, Springer-Verlag, 1983. | MR 713430
[9] - Étale Cohomology, Princeton University Press, 1980. | MR 559531 | Zbl 0433.14012
[10] - « Construction of high-rank elliptic curves », Kobe J. Math. 11 (1994), p. 211-219. | MR 1329433 | Zbl 0848.11026
[11] -, « -rank of elliptic curves and certain limits coming from local points », Manuscripta Math. 92 (1997), p. 13-32. | MR 1427665 | Zbl 0870.11034
[12] - « Algebraic cycles on abelian varieties of complex multiplication », 88 (1968), p. 161-180. | MR 228500 | Zbl 0201.23201
[13] - « Regulators, algebraic cycles and values of -functions », Algebraic -Theory and Algebraic Number Theory, Contemp. Math., vol. 83, American Mathematical Society, 1989, p. 183-307. | MR 991982 | Zbl 0694.14002
[14] & - « On the rank of an elliptic surface », 133 (1998), p. 43-67. | MR 1626465 | Zbl 0905.14019
[15] - « Mordell-Weil lattices for higher genus fibration over a curve », New Trends in Algebraic Geometry, London Math. Soc. Lecture Notes, vol. 264, Cambridge University Press, 1999, p. 359-373. | MR 1714831 | Zbl 0947.14012
[16] - « Algebraic cycles and poles of zeta-functions », Arithmetical Algebraic Geometry, Harper and Row, New York, 1965, p. 93-110. | MR 225778 | Zbl 0213.22804
[17] -, « On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog », Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North Holland, 1968, Sém. Bourbaki exposé no 306, p. 189-214. | Numdam | Zbl 0199.55604
[18] -, « Conjectures on algebraic cycles in -adic cohomology », Motives (Seattle, WA, 1991), vol. I, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, American Mathematical Society, 1994, p. 71-83. | Zbl 0814.14009
[19] - « Arithmetic on elliptic threefolds », 140 (2004), p. 567-580. | MR 2041769 | Zbl 1060.11039