Codimension B-W d’un idéal à droite non nul de $A_{1}(\mathbb {C})$

Kouakou, Mathias Konan

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005), p. 199-204 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $A_{1}(\mathbb {C})$ la première algèbre de Weyl sur $\mathbb {C}$. La codimension B-W d’un idéal à droite non nul $I$ de $A_{1}(\mathbb {C})$ a été introduite par Yuri Berest et George Wilson. Nous montrons d’une part que cette codimension est invariante par la relation de Stafford : si $x\in Q_{1}=\mathrm {Frac}(A_{1}(\mathbb {C}))$, le corps de fractions de $A_{1}(\mathbb {C})$, et si $\sigma \in \mathrm {Aut} (A_{1}(\mathbb {C}))$, le groupe des $ \mathbb {C}$-automorphismes de $A_{1}(\mathbb {C})$, sont tels que $J=x\sigma (I)$ soit un idéal à droite de $A_{1}(\mathbb {C})$, alors $\mathrm {codim}\, I=\mathrm {codim}\, x\sigma (I)$. Nous relions d’autre part la codimension d’un idéal $I$ à la codimension de Gail Letzter-Makar Limanov, de $\mathrm {End}(I)$, l’anneau des endomorphismes de $I$ vu comme un $A_{1}(\mathbb {C})$ sous-module à droite de $Q_{1}$, par la formule $2\mathrm {codim}\, I = \mathrm {codim}\, \mathrm {End}(I)$.

Abstract

The B-W codimension of a right ideal non-zero $I$ of $A_{1}(\mathbb {C})$, the first Weyl algebra on $\mathbb {C}$, has been introduced by Yuri Berest and George Wilson. In this paper we show that this codimension is invariant under Stafford relation: if $x\in Q_{1}=\mathrm {Frac}(A_{1}(\mathbb {C}))$ the skew field of fractions of $A_{1}(\mathbb {C})$ and $\sigma \in \mathrm {Aut} (A_{1}(\mathbb {C}))$ the group of $\mathbb {C}$-automorphisms of $A_{1}(\mathbb {C})$ are such that $J=x\sigma (I)$ be a right ideal of $A_{1}(\mathbb {C})$, then $\mathrm {codim}\, I=\mathrm {codim}\, x\sigma (I)$. Elsewhere we also show the link between the codimension of an ideal and the codimension of $\mathrm {End}\,(I)$, defined by Gail Letzter-Makar Limanov: we show that $2\mathrm {codim}\, I = \mathrm {codim}\, \mathrm {End}(I)$.

Détail

Publié le : 2005-01-01

MR 2172265 | Zbl 1076.16025

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2484
Classification:  16S32
Mots clés: première algèbre de Weyl, idéal à droite, automorphisme, codimension

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