Existence de filtrations admissibles sur des isocristaux

Fontaine, Jean-Marc ; Rapoport, Michael

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005), p. 73-86 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $(D,\varphi )$ un isocristal de vecteur de Newton $\nu \in (\mathbb {Q}^d)_+$. On associe à une filtration $\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet }$ de $D$ son vecteur de Hodge $\mu (\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })\in ({\mathbb {Z}}^d)_+$. Si $\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet }$ est admissible (i.e. $(D,\varphi , \mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })$ est faiblement admissible en tant qu’isocristal filtré), alors $\mu (\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })\ge \nu $. Réciproquement, on démontre qu’étant donné $\mu \in (\mathbb {Z}^d)_+$ avec $\mu \ge \nu $, il existe une filtration admissible $\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet }$ de $D$ avec $\mu =\mu (\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })$. On en déduit, à l’aide d’un théorème de Laffaille, l’existence d’un réseau $M$ dans $D$ de type $\mu $. On donne aussi une variante pour un groupe quasi-déployé quelconque.

Abstract

Let $(D,\varphi )$ be an $F$-isocrystal with associated Newton vector $\nu $ in $(\mathbb {Q}^d)_+$. To a filtration $\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet }$ of $D$ is associated its Hodge vector $\mu (\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })\in (\mathbb {Z}^d)_+$. If $\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet }$ is admissible (i.e. $(D,\varphi , \mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })$ is a weakly admissible filtered isocrystal), then $\mu (\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })\ge \nu $. We show that, conversely, for any $\mu \in (\mathbb {Z}^d)_+$ with $\mu \ge \nu $, there exists an admissible filtration $\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet }$ of $D$ with ${\mu =\mu (\mathcal {F}^{\scriptscriptstyle \bullet })}$. With the help of a theorem of Laffaille we deduce the existence of a lattice $M$ in $D$ of type $\mu $. We also give a variant for arbitrary quasi-split groups.

Détail

Publié le : 2005-01-01

MR 2145020 | Zbl 1073.14025

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2479
Classification:  14F30,  14L05
Mots clés: isocristaux, vecteur de Newton, filtrations admissibles

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