Propriétés $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. Variété commutante

Charbonnel, Jean-Yves

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004), p. 477-508 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $X$ une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu $ un morphisme de $X$ dans l’espace Lin$(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Pour $x\in X$, on note $E(x)$ et $x\cdot E$ le noyau et l’image de $\mu (x)$, $\overline{\!\mu }_{x}$ le morphisme de $X$ dans Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ qui associe à $y$ l’application linéaire $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Soit i${\hspace{0.55542pt}}_{\mu }$ la dimension minimale de $E(x)$. On dit que $\mu $ a la propriété $({\bf R})$ en $x$ si i${\hspace{1.66656pt}}_{\overline{\!\mu }_{x}}$ est inférieur à i${\hspace{0.55542pt}}_{\mu }$. Soient $F^{*}$ le dual de $F$, S$(F)$ l’algèbre symétrique de $F$, ${\mathcal {I}}_{\mu }$ l’idéal de ${\mathcal {O}}_{X}\otimes _{\mathbb {C}}{\rm S}(F)$ engendré par les fonctions $(x,v^{\prime }) \mapsto \langle {v^{\prime }},{\mu (x)(v)}\rangle $ où $v$ est dans $E$ et ${\mathfrak {C}}_{\mu }$ la sous-variété des zéros dans $X\times F^{*}$ de ${\mathcal {I}}_{\mu }$. Désignant par $\sqrt{{\mathcal {I}}_{\mu }}$ le radical de ${\mathcal {I}}_{\mu }$, par $\Sigma $ le support de $\sqrt{{\mathcal {I}}_{\mu }}/{\mathcal {I}}_{\mu }$ dans $X\times F^{*}$ et par $S$ la projection de $\Sigma $ sur $X$, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur $\mu $, $S$ est une partie fermée de $X$ dont la codimension est supérieure à $2$ si et seulement si l’adhérence de l’ensemble des points de $X$ en lesquels $\mu $ n’a pas la propriété $({\bf R})$, a une codimension supérieure à $2$. Soit ${\mathfrak {g}}$ une algèbre de Lie. On dit que ${\mathfrak {g}}$ a la propriété $({\bf C})$ en l’élément $\xi $ de ${\mathfrak {g}}$ si l’application adjointe de ${\mathfrak {g}}$ dans l’espace des endomorphismes linéaires de ${\mathfrak {g}}$ a la propriété (R) en $\xi $ et que ${\mathfrak {g}}$ a la propriété $({\bf Q})$ en l’élément $v^{\prime }$ de ${\mathfrak {g}}^{*}$ si l’application coadjointe de ${\mathfrak {g}}^{*}$ dans $\mathrm {Lin}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{*})$ a la propriété (R) en $v^{\prime }$. L’algèbre ${\mathfrak {g}}$ a la propriété (Q) en $v^{\prime }$ si et seulement si l’indice du stabilisateur ${\mathfrak {g}}(v^{\prime })$ de $v^{\prime }$ est égal à l’indice de ${\mathfrak {g}}$. Le deuxième résultat principal dit qu’une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de ${\mathfrak {g}}^{*}$.

Abstract

Let $X$ be a complex, smooth, irreducible algebraic variety, $E$ and $F$ be two finite dimensional complex vector spaces and $\mu $ be a morphism from $X$ to the space Lin$(E,F)$ of linear maps from $E$ to $F$. For $x$ in $X$, we denote by $E(x)$ and $x\cdot E$ the kernel and the image of $\mu (x)$, and by $\overline{\!\mu }_{x}$ the morphism from $X$ to Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ which associates to $y$ the linear map $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Let i${\hspace{0.55542pt}}_{\mu }$ be the smallest dimension of $E(x)$. We say that $\mu $ has property $({\bf R})$ at $x$ if i${\hspace{1.66656pt}}_{\overline{\!\mu }_{x}}$ is not greater than i${\hspace{0.55542pt}}_{\mu }$. Let $F^{*}$ be the dual of $F$, S$(F)$ be the symmetric algebra of $F$, ${\mathcal {I}}_{\mu }$ be the ideal of ${\mathcal {O}}_{X}\otimes _{\mathbb {C}}{\rm S}(F)$ generated by the functions $(x,v^{\prime }) \mapsto \langle {v^{\prime }},{\mu (x)(v)}\rangle $ where $v$ is in $E$ and ${\mathfrak {C}}_{\mu }$ be the subvariety of zeros in $X\times F^{*}$ of ${\mathcal {I}}_{\mu }$, $\sqrt{{\mathcal {I}}_{\mu }}$ be the radical of ${\mathcal {I}}_{\mu }$, $\Sigma $ be the support of $\sqrt{{\mathcal {I}}_{\mu }}/{\mathcal {I}}_{\mu }$ in $X\times F^{*}$ and $S$ be the projection of $\Sigma $ on $X$. The first main result says that under two technical conditions on $\mu $, $S$ is a closed subset of $X$ whose codimension is at least equal to $2$ if and only if the closure of the subset of points in $X$ at which $\mu $ has not property $({\bf R})$, has codimension at least equal to $2$. Let ${\mathfrak {g}}$ be a Lie algebra. We say that ${\mathfrak {g}}$ has the property $({\bf C})$ at the element $\xi $ of ${\mathfrak {g}}$ if the adjoint map from ${\mathfrak {g}}$ to the space of linear endomorphisms of ${\mathfrak {g}}$ has the property (R) at $\xi $ and that ${\mathfrak {g}}$ has the property $({\bf Q})$ at the element $v^{\prime }$ of ${\mathfrak {g}}^{*}$ if the coadjoint map from ${\mathfrak {g}}^{*}$ to Lin$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{*})$ has the property (R) at $v^{\prime }$. The algebra ${\mathfrak {g}}$ has the property (Q) at $v^{\prime }$ if and only if the index of the stabilizer ${\mathfrak {g}}(v^{\prime })$ of $v^{\prime }$ is equal to the index of ${\mathfrak {g}}$. The second main result says that any reductive Lie algebra has property (Q) at any point of ${\mathfrak {g}}^{*}$.

Détail

Publié le : 2004-01-01

Zbl 1092.14055 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2471
Classification:  14A10,  14L17,  22E20,  22E46
Mots clés: indice, algèbre de Lie, endomorphisme linéaire, codimension, variété algébrique

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