Résonances de Rayleigh en dimension 2

Gamblin, Didier

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004), p. 263-304 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous étudions les résonances de Rayleigh créées par un obstacle strictement convexe à bord analytique en dimension 2. Nous montrons qu’il existe exactement deux suites de résonances $(z_{k,+})$ et $(z_{k,-})$ convergeant exponentiellement vite vers l’axe réel dans un voisinage polynomial de l’axe réel, et exponentiellement proches d’une suite de quasimodes réels. De plus, $k^{-1}\Re {z_{k,\pm }}$ est un symbole analytique d’ordre 0 en la variable $k^{-1}$ dont on donne le premier terme du développement. Nous construisons pour cela des quasimodes de Rayleigh dans un voisinage du bord de l’obstacle.

Abstract

We study the Rayleigh resonances that are created by a strictly convex body with analytic boundary in two dimension. In some polynomial neighbourhood of the real axis we prove that exists exactly two sequences of resonances $(z_{k,+})$ and $(z_{k,-})$ converging exponentially to the real axis and exponentially close to a sequence of real quasimodes. Moreover, $k^{-1}\Re {z_{k,\pm }}$ is a zero order analytic symbol in $k^{-1}$ and we give the first term of his expansion. To prove that, we construct Rayleigh quasimodes in a neighbourhood of the obstacle.

Détail

Publié le : 2004-01-01

MR 2075568 | Zbl 1134.35384

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2466
Classification:  35P25,  81Q20,  73C02
Mots clés: ondes de Rayleigh, résonances, construction bkw

Bibliographie

[1] M. Bellassoued - « Distributions of resonances and decay rate of the local energy for the elastic wave equation », Comm. Math. Phys. 215 (2000), p. 375-408. | MR 1799852 | Zbl 0978.35077

[2] V. Buslaev & A. Fedotov - « The complex WKB method for Harper's equation I », St. Petersburg Math. J. 6 (1995), p. 495-517. | MR 1301830 | Zbl 0839.34066

[3] D. Gamblin - « Résonances de Rayleigh en dimension $2$ », Thèse, Université Paris 13, 2002. | Zbl 1134.35384

[4] A. Grigis & J. Sjöstrand - Microlocal analysis for differential operators, An introduction, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 196, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. | MR 1269107 | Zbl 0804.35001

[5] B. Helffer & J. Sjöstrand - Analyse semi-classique pour l'équation de Harper II, Mém. Soc. Math. France, vol. 40, Société Mathématique de France, Paris, 1990. | Numdam | Zbl 0714.34131

[6] M. Ikehata & G. Nakamura - « Decaying and nondecaying properties of the local energy of an elastic wave outside an obstacle », Japan J. Appl. Math. 6 (1989), p. 83-95. | MR 981515 | Zbl 0696.73017

[7] M. Kawashita - « On the local-energy decay property for the elastic wave equation with the Neumann boundary conditions », Duke Math. J. 67 (1992), p. 333-351. | MR 1177309 | Zbl 0795.35061

[8] L. Nédélec - « Résonances semi-classiques pour l’opérateur de Schrödinger matriciel en dimension $2$ », Thèse, Université Paris 13, 1994. | Numdam | Zbl 0915.35091

[9] J. Sjöstrand - Singularités analytiques microlocales, Astérisque, vol. 95, Société Mathématique de France, Paris, 1982. | MR 699623 | Zbl 0524.35007

[10] J. Sjöstrand & G. Vodev - « Asymptotics of the number of Rayleigh resonances », Math. Ann. 309 (1997), p. 287-306. | MR 1474193 | Zbl 0890.35098

[11] P. Stefanov - « Quasimodes and resonances : Sharp lower bounds », Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, p. 75-92. | MR 1700740 | Zbl 0952.47013

[12] -, « Lower bound of the number of the Rayleigh resonances for arbitrary body », Indiana Univ. Math. J. 49 (2000), no. 1, p. 405-426. | MR 1777025 | Zbl 0961.35098

[13] -, « Resonance expansions and Rayleigh waves », Math. Res. Lett. 8 (2001), no. 1-2, p. 105-124. | MR 1825264 | Zbl 0987.35097

[14] P. Stefanov & G. Vodev - « Distribution of resonances for the Neumann problem in linear elasticity outside a ball », Ann. Inst. H. Poincaré (Phys. théor.) 60 (1994), no. 3, p. 303-321. | Numdam | MR 1281649 | Zbl 0805.73016

[15] -, « Distribution of resonances for the Neumann problem in linear elasticity in the exterior of a strictly convex body », Duke Math. J. 78 (1995), no. 3, p. 677-714. | MR 1334206 | Zbl 0846.35139

[16] -, « Neumann resonances in linear elasticity for an arbitrary body », Comm. Math. Phys. 176 (1996), p. 645-659. | MR 1376435 | Zbl 0851.35032

[17] S.-H. Tang & M. Zworski - « From quasimodes to resonances », Math. Research Letters 5 (1998), p. 261-272. | MR 1637824 | Zbl 0913.35101

[18] -, « Resonances expansions of scattered waves », Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), p. 1305-1334. | MR 1768812

[19] M. Taylor - « Rayleigh waves in linear elasticity as a propagation of singularities phenomenon », Partial differential equations and geometry (Proc. Conf., Park City, Utah, 1977), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 48, Marcel Dekker, New York, 1979, p. 273-291. | MR 535598 | Zbl 0432.73021

[20] G. Vodev - « Existence of Rayleigh resonances exponentially close to the real axis », Ann. Inst. H. Poincaré (Phys. théor.) 67 (1997), no. 1, p. 41-57. | Numdam | MR 1463004 | Zbl 0893.35088