Un polyèdre hyperbolique semi-idéal est un polyèdre dont les sommets sont dans l’espace hyperbolique ou à l’infini. Un polyèdre hyperbolique hyperidéal est, dans le modèle projectif, l’intersection de avec un polyèdre projectif dont les sommets sont tous en dehors de et dont toutes les arêtes rencontrent . Nous classifions les polyèdres semi-idéaux en fonction de leur métrique duale, d’après les résultats de Rivin dans [8] (écrit avec C.D.Hodgson) et [7]. Nous utilisons ce résultat pour retrouver la classification des polyèdres hyperidéaux en terme de leur combinatoire et de leurs angles dièdres. Nous généralisons ces résultats au cas des polyèdres fuchsiens.
An hyperbolic semi-ideal polyhedron is a polyhedron whose vertices lie inside the hyperbolic space or at infinity. An hyperideal polyhedron is, in the projective model, the intersection of with a projective polyhedron whose vertices all lie outside of , and whose edges all meet . We classify semi-ideal polyhedra in terms of their dual metric, using the results of Rivin in [8] (written with C.D. Hodgson) et [7]. This result is used to obtain the classification of hyperideal polyhedra in terms of their combinatorial type and their dihedral angles. These two results are generalized to the case of fuchsian polyhedra.
@article{BSMF_2004__132_2_233_0,
author = {Rousset, Mathias},
title = {Sur la rigidit\'e de poly\`edres hyperboliques en dimension~$3$ : cas de volume fini, cas hyperid\'eal, cas fuchsien},
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Rousset, Mathias. Sur la rigidité de polyèdres hyperboliques en dimension $3$ : cas de volume fini, cas hyperidéal, cas fuchsien. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) pp. 233-261. doi : 10.24033/bsmf.2465. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2004__132_2_233_0/
[1] - Convex polyhedra, GITTL, Moscow, 1951, (titre russe : Vypuklye Mnogogranniki). | MR 40677 | Zbl 0041.50901
[2] - « On convex polyhedra in Lobacevski spaces », Math. USSR Sb. 10 (1970), p. 413-440. | MR 259734 | Zbl 0217.46801
[3] -, « On convex polyhedra of finite volume in Lobacevski spaces », Math. USSR Sb. 12 (1970), p. 255-259. | Zbl 0252.52005
[4] & - « Hyperideal polyhedra in hyperbolic 3-space », Bull Soc. Math. France 130 (2002). | Numdam | MR 1943885 | Zbl 1033.52009
[5] - « On hyperbolic surface tessellations and equivariant spacelike convex polyhedral surfaces in Minkowski space », Phd thesis, Ohio State University, 2000. | MR 2701585
[6] & - « Surfaces convexes fuchsiennes dans les espaces lorentziens à courbure constante », Math. Ann. 316 (2000), p. 465-483. | MR 1752780 | Zbl 0968.53047
[7] - « A characterisation of ideal polyhedra in hyperbolic 3-space », Ann. of Math. 143 (1996), p. 51-70. | MR 1370757 | Zbl 0874.52006
[8] & - « A characterisation of compact convex polyhedra in hyperbolic 3-space », Invent. Math. 111 (1993), p. 77-111. | MR 1193599 | Zbl 0784.52013
[9] - « Hyperbolic manifolds with polyhedral boundary », Preprint math.GT/01.