The action spectrum near positive definite invariant tori
[Le spectre d'action au voisinage des tores invariants à torsion définie]
Bernard, Patrick
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003), p. 603-616 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

On montre que la forme normale de Birkhoff au voisinage d’un tore KAM à torsion définie est donnée par la fonction α de Mather. Cette observation est due à Siburg [Si2], [Si1], en dimension 2. Elle clarifie le lien entre les coefficients de Birkhoff et le spectre d’action au voisinage du tore. Notre extension à la dimension supérieure est rendue possible par une simplification de la preuve donnée dans [Si2].

We show that the Birkhoff normal form near a positive definite KAM torus is given by the function α of Mather. This observation is due to Siburg [Si2], [Si1] in dimension 2. It clarifies the link between the Birkhoff invariants and the action spectrum near the torus. Our extension to high dimension is made possible by a simplification of the proof given in [Si2].

Publié le : 2003-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2457
Classification:  37J40,  37J50
Mots clés: systèmes lagrangiens, théorie d'Aubry-Mather, orbites minimisantes, action moyennée, tores invariants, formes normales, spectre d'action 
@article{BSMF_2003__131_4_603_0,
     author = {Bernard, Patrick},
     title = {The action spectrum near positive definite invariant tori},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     volume = {131},
     year = {2003},
     pages = {603-616},
     doi = {10.24033/bsmf.2457},
     mrnumber = {2044497},
     zbl = {1053.37035},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2003__131_4_603_0}
}

Bernard, Patrick. The action spectrum near positive definite invariant tori. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) pp. 603-616. doi : 10.24033/bsmf.2457. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2003__131_4_603_0/

[1] P. Bernard - « Homoclinic orbits to invariant sets of quasi-integrable exact maps », Ergod. Th. Dynam. Sys. 20 (2000), p. 1583-1601. | MR 1804946 | Zbl 0992.37055

[2] D. Mc Duff & D. Salamon - Introduction to Symplectic Topology, Oxford Math. Monographs, 1995. | MR 1373431 | Zbl 0844.58029

[3] M. Herman - « Inégalités a priori pour des tores lagrangiens invariants par des difféomorphismes symplectiques », Publ. Math. IHES 70 (1989), p. 47-101. | Numdam | Zbl 0717.58020

[4] V. Lazutkin - KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions, Springer, 1993. | MR 1239173 | Zbl 0814.58001

[5] J. Mather - « Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems », Math. Z. 207 (1991), p. 169-207. | MR 1109661 | Zbl 0696.58027

[6] K. Siburg - « Aubry-Mather theory and the inverse spectral problem for planar convex domains », Israel J. Math. 113 (1999), p. 285-304. | MR 1729451 | Zbl 0996.37051

[7] -, « Symplectic invariants of elliptic fixed points », Comment. Math. Helv. 75 (2000), p. 681-700. | MR 1789182 | Zbl 0985.37054