Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale

Bellaïche, Joël; Otwinowska, Ania

Platitude du module universel pour

{GL}_{3}

en caractéristique non banale

Bellaïche, Joël ; Otwinowska, Ania

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003), p. 507-525 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soient $F$ un corps $p$ -adique, $G = {GL}_{3} (F)$ . Pour $χ$ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$ , on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_{χ}$ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$ . Nous prouvons que $M_{χ}$ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$ , alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$ , le module $M_{χ}^{U}$ est libre de rang fini sur $k$ . Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$ , $M_{χ}$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $χ$ , dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.

Let $F$ be a $p$ -adic field, $G = {GL}_{3} (F)$ , and $χ$ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring $k$ . We introduce, following Serre, a smooth representation of $G$ over $k$ which is central for the theory of unramified representation of $G$ over $k$ . We prove that $M_{χ}$ is flat over $k$ for arbitrary $k$ , and that if $p$ is invertible in $k$ , that $M_{χ}^{U}$ is free of finite rank over $k$ for $U$ small compact open subgroup of $G$ . This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if $k$ is a field of characteristic different of $p$ , $M_{χ}$ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character $χ$ , whose structure is known thanks to Vignéras.

Publié le : 2003-01-01

MR 2044493 | Zbl 1067.20059

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2453
Classification: 20C12, 20C20
Mots clés: platitude, module universel, représentations modulaires, représentations non ramifiées, immeubles

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Bellaïche, Joël; Otwinowska, Ania. Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) pp. 507-525. doi : 10.24033/bsmf.2453. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2003__131_4_507_0/

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