Dimension of weakly expanding points for quadratic maps

[Dimension des points faiblement dilatants pour l'application quadratique]

Senti, Samuel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003), p. 399-420 / Harvested from Numdam

Résumé

Pour l’application quadratique réelle $P_a(x)=x^2+a$ et un $\epsilon >0$ donné, un point $x$ a de bonnes propriétés de dilatation si tout intervale contenant $x$ contient également un voisinage $J$ de $x$ avec $P_a^n |_{J}$ univalent, avec distortion bornée et $B(0, \epsilon )\subseteq P_a^n(J)$ pour un $n\in \mathbb {N}$. L’ensemble $\epsilon $-faiblement dilatant est l’ensemble des points qui n’ont pas de bonnes propriétes de dilatation. Notons $\alpha $ le point fixe négatif et $M$ le temps de premier retour de l’orbite critique dans $[\alpha , -\alpha ]$. Nous prouvons l’existence d’un ensemble ${\mathcal {R}}$ de paramètres de mesure de Lebesgue positive pour lesquels la dimension de Hausdorff de l’ensemble $\epsilon $-faiblement dilatant est bornée supérieurement et inférieurement par ${\log _2{M}}/{M}+{\mathcal {O}}({\log _2{\log _2{M}}}/{M})$ si $\epsilon $ est proche de $|\alpha |$. Pour $\epsilon \le |\alpha |$ quelconque la dimension est de l’ordre de ${\mathcal {O}}({\log _2{|\log _2{\epsilon }|}}/{|\log _2{\epsilon }|}).$ Les constantes ne dependent que de $M$. Le théorème du Folklore implique alors l’existence d’une mesure de probabilité absolument continue et invariante par $P_a$ pour $a\in {\mathcal {R}}$ (théorème de Jakobson).

Abstract

For the real quadratic map $P_a(x)=x^2+a$ and a given $\epsilon >0$ a point $x$ has good expansion properties if any interval containing $x$ also contains a neighborhood $J$ of $x$ with $P_a^n |_{J}$ univalent, with bounded distortion and $B(0, \epsilon )\subseteq P_a^n(J)$ for some $n\in \mathbb {N}$. The $\epsilon $-weakly expanding set is the set of points which do not have good expansion properties. Let $\alpha $ denote the negative fixed point and $M$ the first return time of the critical orbit to $[\alpha , -\alpha ]$. We show there is a set ${\mathcal {R}}$ of parameters with positive Lebesgue measure for which the Hausdorff dimension of the $\epsilon $-weakly expanding set is bounded above and below by ${\log _2{M}}/{M}+{\mathcal {O}}({\log _2{\log _2{M}}}/{M})$ for $\epsilon $ close to $|\alpha |$. For arbitrary $\epsilon \le |\alpha |$ the dimension is of the order of ${\mathcal {O}}({\log _2{|\log _2{\epsilon }|}}/{|\log _2{\epsilon }|}).$ Constants depend only on $M$. The Folklore Theorem then implies the existence of an absolutely continuous invariant probability measure for $P_a$ with $a\in {\mathcal {R}}$ (Jakobson’s Theorem).

Détail

Publié le : 2003-01-01

MR 2017145 | Zbl 1071.37028 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2448
Classification:  37E05,  37D25,  37D45,  37C45
Mots clés: application quadratique, théorème de Jakobson, dimension de Hausdorff, partition de Markov, application de Bernoulli, expansion induite, mesure de probabilité invariante absolument continue

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