Focusing of a pulse with arbitrary phase shift for a nonlinear wave equation

[Focalisation d'impulsion et déphasage arbitraire pour une équation des ondes non-linéaire]

Carles, Rémi ; Lannes, David

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003), p. 289-306 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous considérons un système de deux équations des ondes linéaires conservatives, couplées non-linéairement, en dimension trois d’espace. Pour des données initiales radiales de type impulsions courtes, les solutions focalisent à l’origine lorsque la longueur d’onde tend vers zéro. Le caractère conservatif de l’équation fait que la traversée de la caustique n’est pas triviale : nous l’analysons pour des données initiales particulières. Il ressort que le déphasage entre l’onde entrante (avant focalisation) et l’onde sortante (après focalisation) se comporte en $\ln \varepsilon $, où $\varepsilon $ représente la longueur d’onde.

Abstract

We consider a system of two linear conservative wave equations, with a nonlinear coupling, in space dimension three. Spherical pulse like initial data cause focusing at the origin in the limit of short wavelength. Because the equations are conservative, the caustic crossing is not trivial, and we analyze it for particular initial data. It turns out that the phase shift between the incoming wave (before the focus) and the outgoing wave (past the focus) behaves like $\ln \varepsilon $, where $\varepsilon $ stands for the wavelength.

Détail

Publié le : 2003-01-01

MR 1988951 | Zbl 1026.35081

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2444
Classification:  35B40,  35L70,  35P25
Mots clés: optique géométrique non-linéaire, impulsions courtes, caustique, scattering longue portée

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