Symmetries of the nonlinear Schrödinger equation

Grébert, Benoît; Kappeler, Thomas

Symmetries of the nonlinear Schrödinger equation
[Symétries de l'équation de Schrödinger non linéaire]

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002), p. 603-618 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Les symétries de l’équation de Schrödinger nonlinéaire sont exprimées dans les variables action-angles et caractérisées à l’aide du spectre périodique et du spectre de Dirichlet du système de Zakharov-Shabat associé. Comme application, nous démontrons la conjecture suivante : le spectre périodique $\dots < λ_{k}^{-} \leq λ_{k}^{+} < λ_{k + 1}^{-} \leq \dots$ de l’opérateur de Zakharov-Shabat est symétrique, i.e. $λ_{k}^{\pm} = - λ_{- k}^{\mp}$ pour tout $k$ , si et seulement si la suite ${(γ_{k})}_{k \in ℤ}$ des longueurs des intervalles d’instabilité, $γ_{k} : = λ_{k}^{+} - λ_{k}^{-}$ , est symétrique par rapport à $k = 0$ .

Symmetries of the defocusing nonlinear Schrödinger equation are expressed in action-angle coordinates and characterized in terms of the periodic and Dirichlet spectrum of the associated Zakharov-Shabat system. Application: proof of the conjecture that the periodic spectrum $\dots < λ_{k}^{-} \leq λ_{k}^{+} < λ_{k + 1}^{-} \leq \dots$ of a Zakharov-Shabat operator is symmetric, i.e. $λ_{k}^{\pm} = - λ_{- k}^{\mp}$ for all $k$ , if and only if the sequence ${(γ_{k})}_{k \in ℤ}$ of gap lengths, $γ_{k} : = λ_{k}^{+} - λ_{k}^{-}$ , is symmetric with respect to $k = 0$ .

Publié le : 2002-01-01

MR 1947455 | Zbl 1044.35088

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2432
Classification: 35Q55, 37K10, 37L20, 34A55
Mots clés: Équation NLS, opérateur de Zakharov-Shabat, variables action-angles, symétries

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     author = {Gr\'ebert, Beno\^\i t and Kappeler, Thomas},
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Grébert, Benoît; Kappeler, Thomas. Symmetries of the nonlinear Schrödinger equation. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) pp. 603-618. doi : 10.24033/bsmf.2432. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2002__130_4_603_0/

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