On démontre un résultat concernant l’interpolation de fonctions analytiques sur une perturbation d’ensemble produit qui, dans le cas -adique, répond à une conjecture de P.Robba et, dans le cas complexe, complète des résultats antérieurs de E.Bombieri, S.Lang, D.Masser, J.-C.Moreau et M.Waldschmidt.
In 1970, E.Bombieri and S.Lang used analytic results of P.Lelong to establish a Schwarz lemma for a well distributed set of points in . Their result was extended to an interpolation lemma, first by D.W.Masser in the case of polynomials, then by M.Waldschmidt for analytic functions. J.-C.Moreau gave an analog of it over the real numbers and P.Robba in the -adic realm. Robba also conjectured a -adic interpolation lemma for the case where the set of points of interpolation is what he calls a perturbation of a product set, a situation which includes both the case of a well distributed set and the case of a cartesian product. In this paper, we present an algebraic proof of Robba’s conjecture together with a generalization of it over the complex numbers.
@article{BSMF_2002__130_3_387_0, author = {Roy, Damien}, title = {Interpolation sur des perturbations d'ensembles produits}, journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France}, volume = {130}, year = {2002}, pages = {387-408}, doi = {10.24033/bsmf.2424}, mrnumber = {1943883}, zbl = {1085.11036}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2002__130_3_387_0} }
Roy, Damien. Interpolation sur des perturbations d'ensembles produits. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) pp. 387-408. doi : 10.24033/bsmf.2424. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2002__130_3_387_0/
[1] « Analytic subgroups of group varieties », Invent. Math. 11 (1970), p. 1-14. | MR 296028 | Zbl 0237.14015
& -[2] « Measures of simultaneous approximation for quasi-periods of abelian varieties », J. Number Theory 94 (2002), p. 136-176. | MR 1904966 | Zbl 1030.11033
-[3] Elliptic functions and transcendence, Lecture Notes in Math., vol. 437, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1975. | MR 379391 | Zbl 0312.10023
-[4] -, « Diophantine approximation and lattices with complex multiplication », Invent. Math. 45 (1978), p. 61-82. | MR 485718 | Zbl 0375.10022
[5] -, « Polynomial interpolation in several complex variables », J. Approx. Theory 24 (1978), p. 18-34. | MR 510919 | Zbl 0401.32009
[6] « Zéros de polynômes en plusieurs variables », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B 282 (1976), p. A771-A774. | MR 401664 | Zbl 0328.32003
-[7] -, « Lemmes de Schwarz en plusieurs variables et applications arithmétiques », Sém. P. Lelong, H. Skoda (Analyse) 1978/79, Lecture Notes in Math., vol. 822, Springer, Berlin, New York, 1980, p. 174-190. | MR 599026 | Zbl 0452.10036
[8] « Réduction modulo des sous-ensembles analytiques fermés de », Invent. Math. 66 (1982), p. 325-341. | MR 656627 | Zbl 0473.12015
-[9] « Lemmes de Schwarz et lemmes d’approximations -adiques en plusieurs variables », Invent. Math. 48 (1978), p. 245-277. | MR 508987 | Zbl 0392.12020
-[10] « Interpolation formulas and auxiliary functions », J. Number Theory 94 (2002), p. 248-285. | MR 1916273 | Zbl 1010.11039
-[11] « Dépendance d’exponentielles -adiques », Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 1965-1966, exposé 15, 14p. | Numdam | Zbl 0254.10033
-[12] Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, vol. 69-70, Soc. Math. France., 1979, avec deux appendices par D. Bertrand et J.-P. Serre. | MR 570648 | Zbl 0621.10022
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