Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif

Danila, Gentiana

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002), p. 1-33 / Harvested from Numdam

Résumé

La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $\mathbb {P}_2$. On considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck ${\rm K}(\mathbb {P}_2)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note ${\rm M}_c$ et ${\rm M}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$ sur $\mathbb {P}_2$. Il existe sur ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) un fibré déterminant inversible $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) et le produit tensoriel externe $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ sur l’espace produit ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ a une section canonique $\sigma _{c,u}$ qui fournit une application linéaire $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\rightarrow {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. Si ${\rm M}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que $\mathcal {D}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2(c)=n\le 5$, et $u$ est de degré $d(u)\le 3$ et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ pour $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, pour les classes $c$ et $u$ considérées ci-dessus.

Abstract

Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane $\mathbb {P}_2$. We consider two orthogonal classes $c,u$ in the Grothendieck algebra ${\rm K}(\mathbb {P}_2)$ such that $c$ is of positive rank and $u$ of rank zero, and we call ${\rm M}_c$ and ${\rm M}_u$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of class $c$, respectively $u$ on $\mathbb {P}_2$. There exists on ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) a determinant bundle $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) and the product fibre bundle $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ on the product space ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ has a canonical section $\sigma _{c,u}$ which provides a linear application $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\rightarrow {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. If ${\rm M}_c$ is not empty, $\mathcal {D}_{c,u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where $c$ is of rank $2$, zero first Chern class and second Chern class $c_2(c)\le 5$, and $u$ is of degree $d(u)\le 3$ and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0 ({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ for $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, for the particular classes $c$ and $u$ considered above.

Détail

Publié le : 2002-01-01

MR 1906190 | Zbl 1038.14004

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2410
Classification:  14D20,  14F05,  14J60
Mots clés: espaces de modules, fibré déterminant, dualité étrange, séries génératrices

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