La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif . On considère deux classes orthogonales dans l’algèbre de Grothendieck telles que est de rang strictement positif et est de rang zéro, et on note et les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe , respectivement sur . Il existe sur (resp. ) un fibré déterminant inversible (resp. ) et le produit tensoriel externe sur l’espace produit a une section canonique qui fournit une application linéaire . Si n’est pas vide, la conjecture affirme que est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où est de rang , première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern , et est de degré et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice pour , , , pour les classes et considérées ci-dessus.
Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane . We consider two orthogonal classes in the Grothendieck algebra such that is of positive rank and of rank zero, and we call and the moduli spaces of semi-stable sheaves of class , respectively on . There exists on (resp. ) a determinant bundle (resp. ) and the product fibre bundle on the product space has a canonical section which provides a linear application . If is not empty, is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where is of rank , zero first Chern class and second Chern class , and is of degree and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series for , , , for the particular classes and considered above.
@article{BSMF_2002__130_1_1_0, author = {Danila, Gentiana}, title = {R\'esultats sur la conjecture de dualit\'e \'etrange sur le plan projectif}, journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France}, volume = {130}, year = {2002}, pages = {1-33}, doi = {10.24033/bsmf.2410}, mrnumber = {1906190}, zbl = {1038.14004}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2002__130_1_1_0} }
Danila, Gentiana. Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) pp. 1-33. doi : 10.24033/bsmf.2410. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2002__130_1_1_0/
[1] « Irreducibility of the compactified jacobian », Nordic Summer School/NAVF, Symposium in Mathematics, Oslo, August 5-25, 1976. | MR 498546 | Zbl 0415.14014
, & -[2] « Moduli of vector bundles on projective plane », Invent. Math. 42 (1977), p. 63-91. | MR 460330 | Zbl 0386.14005
-[3] « Riemann-Roch and topological theory for singular varieties », Acta Math. 143 (1979), no. 3-4, p. 155-192. | MR 549773 | Zbl 0474.14004
, & -[4] « Singularités rationnelles et quotients par les groupes réductifs », Invent. Math. 88 (1987), p. 65-68. | MR 877006 | Zbl 0619.14029
-[5] « Sections du fibré déterminant sur l’espace de modules des faisceaux semi-stables de rang sur le plan projectif », Ann. Inst. Fourier Grenoble 50 (2000), p. 1323-1374. | Numdam | MR 1800122 | Zbl 0952.14010
-[6] « Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur », J. reine angew. Math. 380 (1987), p. 14-58. | MR 916199 | Zbl 0613.14013
-[7] -, « Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur », Ann. Inst. Fourier Grenoble 38 (1988), p. 105-168. | Numdam | MR 976687 | Zbl 0616.14006
[8] « Groupe de Picard des variétés de modules de fibrés semi-stables sur les courbes algébriques », Invent. Math. 97 (1989), p. 53-94. | MR 999313 | Zbl 0689.14012
& -[9] Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, vol. 20, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992. | MR 1193913 | Zbl 0779.14003
& -[10] Intersection theory, Springer-Verlag, 1984. | MR 732620 | Zbl 0885.14002
-[11] Local cohomology, Lecture Notes Series, vol. 41, 1967. | MR 224620 | Zbl 0185.49202
-[12] Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001
-[13] « Espaces de modules de systèmes cohérents », Int. J. of Maths 9-5 (1998), p. 545-598. | Zbl 0936.14008
-[14] « Dualité étrange sur le plan projectif », exposé donné à Luminy en décembre 1996.
-[15] -, « L'espace de modules de Simpson », Séminaire de géométrie algébrique, Jussieu, exposé du 27 février 1992.
[16] -, « Fibré déterminant et courbes de saut sur les surfaces algébriques », Complex projective Geometry, Lecture Notes Series, vol. 179, London Math. Soc., 1992, p. 213-240. | MR 1201385 | Zbl 0788.14045
[17] -, « Faisceaux semi-stables de dimension sur le plan projectif », Revue roumaine de math. pures et appliquées 38 (1993), p. 635-678, dédicacé à la mémoire de Constantin Banica. | MR 1263210
[18] -, « Faisceaux semi-stables et systèmes cohérents », Proceedings de la Conference de Durham (juillet 1993), Cambridge University Press, 1995, p. 179-239.
[19] -, « Module des fibrés semi-stables et fonctions thêta », Proceedings du Symposium Taniguchi sur les fibrés vectoriels (Kyoto, décembre 1994) ; Moduli of vector bundles (M. Maruyama, éd.), Lecture Notes in Pure and Applied Math., vol. 179, 1996, p. 83-101. | Zbl 0890.14017
[20] -, Lectures on vector bundles, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 54, Cambridge Univ. Press, 1997. | MR 1428426 | Zbl 0872.14003
[21] « Algebraic Geometric Interpretation of Donaldson's Polynomial Invariants », J. Diff. Geo. 37 (1993), p. 417-466. | MR 1205451 | Zbl 0809.14006
-[22] « Lower-degree Donaldson Polynomial Invariants of Rational Surfaces », J. Alg. Geom. 2 (1993), p. 413-442. | MR 1211994 | Zbl 0789.14036
& -[23] « Abelian Varieties », Arithmetic Geometry (G. Cornell & J. Silverman, éds.), Springer-Verlag, 1986. | MR 861974 | Zbl 0604.14028
-[24] Geometric Invariant Theory, 2nd ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 34, Springer-Verlag, 1982. | MR 719371 | Zbl 0504.14008
& -[25] « Moduli of vector bundles on surfaces », Algebraic geometry - Santa Cruz 1995, Proc. Sympos. Pure Math., Part1, vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, p. 101-126. | MR 1492520 | Zbl 0901.14026
-[26] « Moduli of Representations of the Fundamental Group of a Smooth Variety », Publ. Math. IHES 79-80 (1994). | Numdam | Zbl 0891.14006
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