Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups

Dvornicich, Roberto; Zannier, Umberto

Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups
[Divisibilité locale-globale des points rationnels en certains groupes algébriques commutatifs]

Dvornicich, Roberto ; Zannier, Umberto

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001), p. 317-338 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Pour un groupe algébrique commutatif $𝒜$ , défini sur un corps de nombres $k$ , on se pose la question suivante : étant donnés un entier $r$ strictement positif et un élément $P$ de $𝒜 (k)$ , on suppose que pour tout premier $v$ de $k$ , à l’exception d’au plus d’un nombre fini, il existe un élément $D_{v}$ de $𝒜 (k_{v})$ avec $P = r D_{v}$ . Peut-on en déduire l’existence d’un élément $D$ de $𝒜 (k)$ tel que l’on ait $P = r D$ ? Une réponse complète à cette question est bien connue dans le cas où $𝒜$ est le groupe multiplicatif $𝔾_{m}$ . Nous étudions d’autres cas particuliers. Nous obtenons notamment une réponse affirmative dans le cas où $r$ est un nombre premier et où $𝒜$ est, soit une courbe elliptique, soit un tore de dimension petite par rapport à $r$ . En outre, nous montrons par un exemple que, dans le cas où $𝒜$ est un tore de dimension arbitraire, la réponse peut être négative, même si $r$ est un nombre premier.

Let $𝒜$ be a commutative algebraic group defined over a number field $k$ . We consider the following question: Let $r$ be a positive integer and let $P \in 𝒜 (k)$ . Suppose that for all but a finite number of primes $v$ of $k$ , we have $P = r D_{v}$ for some $D_{v} \in 𝒜 (k_{v})$ . Can one conclude that there exists $D \in 𝒜 (k)$ such that $P = r D$ ? A complete answer for the case of the multiplicative group $𝔾_{m}$ is classical. We study other instances and in particular obtain an affirmative answer when $r$ is a prime and $𝒜$ is either an elliptic curve or a torus of small dimension with respect to $r$ . Without restriction on the dimension of a torus, we produce an example showing that the answer can be negative even when $r$ is a prime.

Publié le : 2001-01-01

MR 1881198 | Zbl 0987.14016

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2399
Classification: 14G05
Mots clés: problèmes de rationalité, points rationnels

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Dvornicich, Roberto; Zannier, Umberto. Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) pp. 317-338. doi : 10.24033/bsmf.2399. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2001__129_3_317_0/

Bibliographie

[1] N. Bourbaki - « Groupes et algèbres de Lie », ch. 2 et 3, Hermann, Paris, 1972. | MR 573068 | Zbl 0483.22001

[2] J.-L. Colliot-Thélène & J.-J. Sansuc - « La $r$ -équivalence sur les tores », Ann. Sci. École Norm. Sup. 10 (1977), p. 175-229. | Numdam | MR 450280 | Zbl 0356.14007

[3] J.-J. Sansuc - « Groupe de Brauer et arithmétique des groupes linéaires sur un corps de nombres », J. reine angew. Math. 327 (1981), p. 12-80. | MR 631309 | Zbl 0468.14007

[4] J.-P. Serre - Algebraic Groups and Class Fields, Springer Verlag, 1988. | MR 918564 | Zbl 0703.14001