Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations

[Décomposition en profils pour les solutions des équations de Navier-Stokes]

Gallagher, Isabelle

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001), p. 285-316 / Harvested from Numdam

Résumé

On considère des suites de solutions des équations de Navier-Stokes dans ${\mathbb {R}}^3$, associées à des suites de données initiales bornées dans $\dot{H}^{1/2}$. On montre, dans l’esprit du travail de H.Bahouri et P.Gérard (dans le cas de l’équation des ondes), qu’elles peuvent être décomposées en une somme de profils orthogonaux, bornés dans $\dot{H}^{1/2}$, à un terme de reste près, petit dans $L^3$ ; la méthode s’appuie sur la démonstration d’un résultat analogue pour l’équation de la chaleur, suivi d’un argument de perturbation. Si ${\mathcal {A}}$ est un espace « admissible » (en particulier $L^3$, $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty }$ pour $p < +\infty $ ou $\nabla {B\hspace{-0.55542pt}M\hspace{-0.55542pt}O} $), et si ${\mathcal {B}}_{_{\!{N\hspace{-1.111pt}S}}}^{{\mathcal {A}}}$ est la plus grande boule de de ${\mathcal {A}}$ centrée en zéro, telle que les éléments de $\dot{H}^{1/2}\cap {\mathcal {B}}_{_{\!{N\hspace{-1.111pt}S}}}^{{\mathcal {A}}}$ génèrent des solutions globales, alors on obtient en corollaire une estimation a priori pour ces solutions. On montre aussi que l’application associant une donnée dans $\dot{H}^{1/2}\cap {\mathcal {B}}_{_{\!{N\hspace{-1.111pt}S}}}^{{\mathcal {A}}}$ à sa solution est lipschitzienne.

Abstract

We consider sequences of solutions of the Navier-Stokes equations in ${\mathbb {R}}^3$, associated with sequences of initial data bounded in $\dot{H}^{1/2}$. We prove, in the spirit of the work of H.Bahouri and P.Gérard (in the case of the wave equation), that they can be decomposed into a sum of orthogonal profiles, bounded in $\dot{H}^{1/2}$, up to a remainder term small in $L^3$; the method is based on the proof of a similar result for the heat equation, followed by a perturbation-type argument. If ${\mathcal {A}}$ is an “admissible” space (in particular $L^3$, $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty }$ for $p < +\infty $ or $\nabla {B\hspace{-0.55542pt}M\hspace{-0.55542pt}O} $), and if ${\mathcal {B}}_{_{\!{N\hspace{-1.111pt}S}}}^{{\mathcal {A}}}$ is the largest ball in ${\mathcal {A}}$ centered at zero such that the elements of $\dot{H}^{1/2}\cap {\mathcal {B}}_{_{\!{N\hspace{-1.111pt}S}}}^{{\mathcal {A}}}$ generate global solutions, then we obtain as a corollary an a priori estimate for those solutions. We also prove that the mapping from data in $\dot{H}^{1/2}\cap {\mathcal {B}}_{_{\!{N\hspace{-1.111pt}S}}}^{{\mathcal {A}}}$ to the associate solution is Lipschitz.

Détail

Publié le : 2001-01-01

Zbl 0987.35120 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2398
Classification:  35B45,  35Q30,  76D05
Mots clés: Navier-Stokes, explosion, profils, estimation a priori, espace admissible

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