Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(\mathbb {C}^n,0)$

Belliart, Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001), p. 259-284 / Harvested from Numdam

Résumé

On montre que si $\Gamma $ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de $\mathbb {C}^n$ en zéro contenant deux éléments “en position générale” et proches de l’identité, alors : 1) L’action de $\Gamma $ sur le fibré des jets d’ordre infini sur un petit voisinage épointé $\mathcal {B}$ de $0$ est minimale (c’est-à-dire que si $z_0,z_1\in \mathcal {B}$ et si $\phi :z_0\rightarrow z_1$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite $\gamma _n\in \Gamma $ qui converge vers $\phi $ uniformément au voisinage de $z_0$). 2) $\Gamma $ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de $0$ (c’est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $\Gamma $ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L’ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $\Gamma $, d’un faisceau $\mathfrak {g}_\Gamma $ d’algèbres de Lie sur $\mathbb {C}^n$ dans lequel $\Gamma $ est “dense” en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $\Gamma $ satisfait une hypothèse naturelle alors $\mathfrak {g}_\Gamma (U)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur $U$, pour tout $U$ ouvert dans $\mathcal {B}$ où $\mathcal {B}$ est le complémentaire (ouvert) de $0$ dans son bassin d’attraction.

Abstract

Let $\Gamma $ be a pseudogroup of local holomorphic transformations of $\mathbb {C}^n$ fixing zero. We study the dynamics of $\Gamma $. We show that if $\Gamma $ contains two elements whose 2-jets are in “general position” and sufficiently near the identity, then: 1) $\Gamma $ acts minimally on the bundle of infinite-order jets on some pointed neighborhood $\mathcal {B}$ of $0$ (that is to say: for any $z_0,z_1\in \mathcal {B}$ and any germ $\phi :z_0\rightarrow z_1$ of biholomorphism, there exists a sequence $\gamma _n\in \Gamma $ which converges to $\phi $ uniformly on some neighborhood of $z_0$). 2) $\Gamma $ preserves no geometric structure near $0$ (this is a trivial consequence of 1). 3) For any holomorphic pseudogroup topologically conjugate to $\Gamma $, the germ of conjugacy at $0$ is either holomorphic or antiholomorphic. The main feature of the proof is to attach to any pseudogroup $\Gamma $ a sheaf $\mathfrak {g}_\Gamma $ of Lie algebrae on $\mathbb {C}^n$ such that $\Gamma $ is “dense” in $\mathfrak {g}_\Gamma $ in a natural sense. Then we prove that under some natural assumption on $\Gamma $, $\mathfrak {g}_\Gamma (U)$ must be the sheaf of all holomorphic vector fields for any $U$ open in $\mathcal {B}$, where $\mathcal {B}$ is the (open) complementary of $0$ in its basin of attraction.

Détail

Publié le : 2001-01-01

MR 1871298 | Zbl 1006.58015

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2397
Classification:  58H05,  58H15
Mots clés: pseudogroupes conformes, structure géométrique invariante

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