Growth of a primitive of a differential form

[Croissance d'une primitive d'une forme différentiable]

Sikorav, Jean-Claude

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001), p. 159-168 / Harvested from Numdam

Résumé

Pour qu’une forme différentielle exacte sur une variété riemannienne $M$ ait une primitive majorée par une fonction $f$ donnée, il faut d’après Stokes satisfaire une certaine inégalité isopérimétrique pondérée. Nous montrons une réciproque à des constantes près si la variété est à géométrie bornée. Pour une forme volume, l’inégalité ($|\Omega |\le \int _{\partial \Omega }\,f{\rm d}\sigma $ pour tout domaine compact $\Omega \subset M$) suffit. Ceci implique en particulier le résultat « bien connu » que si $M$ est le revêtement universel d’une variété riemannienne compacte à groupe fondamental non moyennable, la forme volume a une primitive bornée. Grâce à un théorème récent d’A.$\dot{\rm Z}$uk, nous obtenons aussi que si le groupe fondamental est infini, la forme volume a toujours une primitive à croisssance linéaire.

Abstract

For an exact differential form on a Riemannian manifold to have a primitive bounded by a given function $f$, by Stokes it has to satisfy some weighted isoperimetric inequality. We show the converse up to some constants if $M$ has bounded geometry. For a volume form, it suffices to have the inequality ($|\Omega |\le \int _{\partial \Omega }\,f{\rm d}\sigma $ for every compact domain $\Omega \subset M$). This implies in particular the “well-known” result that if $M$ is the universal covering of a compact Riemannian manifold with non-amenable fundamental group, then the volume form has a bounded primitive. Thanks to a recent theorem of A.$\dot{\rm Z}$uk, we also obtain that if the fundamental group is infinite, the volume form always has a primitive with linear growth.

Détail

Publié le : 2001-01-01

MR 1871291 | Zbl 0990.58001

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2390
Classification:  58A10,  53C20,  57R05
Mots clés: forme différentielle exacte, inégalités isopérimétriques, géométrie bornée

Bibliographie

[1] M. Gromov - Structures métriques pour les variétés riemanniennes, Textes Mathématiques [Mathematical Texts], vol. 1, CEDIC, Paris, 1981, Edited by J. Lafontaine and P. Pansu. | MR 682063 | Zbl 0509.53034