Multifractal analysis of the divergence of Fourier series

[Analyse multifractale des points de divergence des séries de Fourier]

Bayart, Frédéric ; Heurteaux, Yanick

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 45 (2012), p. 927-946 / Harvested from Numdam

Résumé

Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction $f$ est de puissance $p$-ième intégrable ($p>1$), sa série de Fourier converge presque partout. D’un autre côté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné $x$, on peut introduire l’indice de divergence comme étant le plus petit exposant $\beta $ tel que $S_nf(x)=O(n^\beta )$. On sait que cet indice est au plus égal à $1/p$ et on s’intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points $E_\beta $ d’indice de divergence donné $\beta $. Nous montrons que quasi-toute fonction de $L^p$ (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-sûrement dans $L^p$, pour tout $\beta $, la dimension de Hausdorff de $E_\beta $ vaut $1-\beta p$. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de $S_nf(x)$ est contrôlée par le logarithme de $n$. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels.

Abstract

A famous theorem of Carleson says that, given any function $f\in L^p(\mathbb {T})$, $p\in (1,+\infty )$, its Fourier series $(S_nf(x))$ converges for almost every $x\in \mathbb {T}$. Beside this property, the series may diverge at some point, without exceeding $O(n^{1/p})$. We define the divergence index at $x$ as the infimum of the positive real numbers $\beta $ such that $S_nf(x)=O(n^\beta )$ and we are interested in the size of the exceptional sets $E_\beta $, namely the sets of $x\in \mathbb {T}$ with divergence index equal to $\beta $. We show that quasi-all functions in $L^p(\mathbb {T})$ have a multifractal behavior with respect to this definition. Precisely, for quasi-all functions in $L^p(\mathbb {T})$, for all $\beta \in [0,1/p]$, $E_\beta $ has Hausdorff dimension equal to $1-\beta p$. We also investigate the same problem in $\mathcal {C}(\mathbb {T})$, replacing polynomial divergence by logarithmic divergence. In this context, the results that we get on the size of the exceptional sets are rather surprising.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 3075108 | Zbl 1278.42003

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2180
Classification:  42A20
Mots clés: séries de Fourier, analyse multifractale, divergence, théorème de Baire

Bibliographie

[1] J.-M. Aubry, On the rate of pointwise divergence of Fourier and wavelet series in $L^p$, J. Approx. Theory 138 (2006), 97-111. | MR 2197605 | Zbl 1096.42022

[2] F. Bayart & Y. Heurteaux, Multifractal analysis of the divergence of Fourier series: The extreme cases, preprint arXiv:1110.5478. | MR 3075108 | Zbl 1278.42003

[3] V. Beresnevich & S. Velani, A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures, Ann. of Math. 164 (2006), 971-992. | MR 2259250 | Zbl 1148.11033

[4] M. M. Dodson, M. V. Melián, D. Pestana & S. L. Velani, Patterson measure and ubiquity, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 20 (1995), 37-60. | MR 1304105 | Zbl 0816.11043

[5] K. Falconer, Fractal geometry. Mathematic foundations and applications, second éd., John Wiley & Sons Inc., 2003. | MR 2118797 | Zbl pre06245248

[6] S. Jaffard, On lacunary wavelet series, Ann. Appl. Probab. 10 (2000), 313-329. | MR 1765214 | Zbl 1063.60053

[7] S. Jaffard, On the Frisch-Parisi conjecture, J. Math. Pures Appl. 79 (2000), 525-552. | MR 1770660 | Zbl 0963.28009

[8] J.-P. Kahane & Y. Katznelson, Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques, Studia Math. 26 (1966), 305-306. | MR 199633 | Zbl 0143.28901

[9] J.-P. Kahane & R. Salem, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Actualités Sci. Indust. 1301, Hermann, 1963. | MR 160065 | Zbl 0112.29304

[10] Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis, John Wiley & Sons Inc., 1968. | MR 248482 | Zbl 0352.43001

[11] P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Studies in Advanced Math. 44, Cambridge Univ. Press, 1995. | MR 1333890 | Zbl 0819.28004

[12] P. Mörters & Y. Peres, Brownian motion, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge Univ. Press, 2010. | MR 2604525 | Zbl 1243.60002

[13] J. Arias De Reyna, Pointwise convergence of Fourier series, Lecture Notes in Math. 1785, Springer, 2002. | MR 1906800 | Zbl 1003.42001

[14] A. Zygmund, Trigonometric series, 3rd éd., Cambridge Univ. Press, 2003. | Zbl 0367.42001