Troesch complexes and extensions of strict polynomial functors

[Complexes de Troesch et extensions de foncteurs polynomiaux stricts]

Touzé, Antoine

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 45 (2012), p. 53-99 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous développons une nouvelle approche des calculs d’${\mathrm {Ext}}$ dans la catégorie des foncteurs strictement polynomiaux, en nous basant sur les complexes de Troesch. Nous obtenons ainsi des démonstrations élémentaires de nombreux calculs classiques et de nouveaux résultats. En particulier, nous obtenons une version cohomologique des théorèmes fondamentaux de la théorie classique des invariants de $GL_n$ pour $n$ suffisamment grand (et nous donnons une conjecture pour les plus petites valeurs de $n$). Nous étudions également une suite spectrale de torsion de Frobenius $E^{s,t}(F,G,r)$ qui converge vers les groupes d’extensions ${\mathrm {Ext}}^*_{\mathcal {P} _\mathbb {k} }(F^{(r)}, G^{(r)})$ entre foncteurs précomposés par le twist de Frobenius. De nombreux calculs classiques équivalent à l’effondrement de cette suite spectrale à la seconde page (par lacunarité), et elle constitue également un outil pratique pour étudier l’effet de la torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions. Nous démontrons de nombreux cas d’effondrement, et nous conjecturons que l’effondrement a toujours lieu.

Abstract

We develop a new approach of extension calculus in the category of strict polynomial functors, based on Troesch complexes. We obtain new short elementary proofs of numerous classical ${\mathrm {Ext}}$-computations as well as new results. In particular, we get a cohomological version of the “fundamental theorems” from classical invariant theory for $GL_n$ for $n$ big enough (and we give a conjecture for smaller values of $n$). We also study the “twisting spectral sequence” $E^{s,t}(F,G,r)$ converging to the extension groups ${\mathrm {Ext}}^*_{\mathcal {P} _\mathbb {k} }(F^{(r)}, G^{(r)})$ between the twisted functors $F^{(r)}$ and $G^{(r)}$. Many classical ${\mathrm {Ext}}$ computations simply amount to the collapsing of this spectral sequence at the second page (for lacunary reasons), and it is also a convenient tool to study the effect of the Frobenius twist on ${\mathrm {Ext}}$ groups. We prove many cases of collapsing, and we conjecture collapsing is a general fact.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 2961787 | Zbl 1253.20047 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2160
Classification:  18G10,  20G10,  18G40
Mots clés: foncteurs strictement polynomiaux, extensions, torsion de Frobenius, groupe linéaire, algèbres de cohomologie, homologie des foncteurs, cohomologie rationnelle

Bibliographie

[1] D. J. Benson, Representations and cohomology. I, second éd., Cambridge Studies in Advanced Math. 30, Cambridge Univ. Press, 1998. | MR 1644252 | Zbl 0908.20001

[2] D. J. Benson, Representations and cohomology. II, second éd., Cambridge Studies in Advanced Math. 31, Cambridge Univ. Press, 1998. | MR 1634407 | Zbl 0908.20002

[3] M. Chałupnik, Extensions of strict polynomial functors, Ann. Sci. École Norm. Sup. 38 (2005), 773-792. | Numdam | MR 2195259 | Zbl 1089.20029

[4] M. Chałupnik, Koszul duality and extensions of exponential functors, Adv. Math. 218 (2008), 969-982. | MR 2414328 | Zbl 1148.18008

[5] E. Cline, B. Parshall, L. Scott & W. Van Der Kallen, Rational and generic cohomology, Invent. Math. 39 (1977), 143-163. | MR 439856 | Zbl 0336.20036

[6] C. De Concini & C. Procesi, A characteristic free approach to invariant theory, Adv. Math. 21 (1976), 330-354. | MR 422314 | Zbl 0347.20025

[7] V. Franjou & E. M. Friedlander, Cohomology of bifunctors, Proc. Lond. Math. Soc. 97 (2008), 514-544. | MR 2439671 | Zbl 1153.20042

[8] V. Franjou, E. M. Friedlander, A. Scorichenko & A. Suslin, General linear and functor cohomology over finite fields, Ann. of Math. 150 (1999), 663-728. | MR 1726705 | Zbl 0952.20035

[9] V. Franjou, J. Lannes & L. Schwartz, Autour de la cohomologie de Mac Lane des corps finis, Invent. Math. 115 (1994), 513-538. | MR 1262942 | Zbl 0798.18009

[10] V. Franjou & T. Pirashvili, Strict polynomial functors and coherent functors, Manuscripta Math. 127 (2008), 23-53. | MR 2429912 | Zbl 1168.18001

[11] E. M. Friedlander & A. Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field, Invent. Math. 127 (1997), 209-270. | MR 1427618 | Zbl 0945.14028

[12] J. C. Jantzen, Representations of algebraic groups, second éd., Mathematical Surveys and Monographs 107, Amer. Math. Soc., 2003. | Zbl 1034.20041

[13] W. Van Der Kallen, Cohomology with Grosshans graded coefficients, in Invariant theory in all characteristics, CRM Proc. Lecture Notes 35, Amer. Math. Soc., 2004, 127-138. | MR 2066461 | Zbl 1080.20039

[14] B. Totaro, Projective resolutions of representations of ${\rm GL}(n)$, J. reine angew. Math. 482 (1997), 1-13. | MR 1427655 | Zbl 0859.20034

[15] A. Touzé, Cohomology of classical algebraic groups from the functorial viewpoint, Adv. Math. 225 (2010), 33-68. | MR 2669348 | Zbl 1208.20043

[16] A. Touzé, Universal classes for algebraic groups, Duke Math. J. 151 (2010), 219-249. | MR 2598377 | Zbl 1196.20052

[17] A. Touzé & W. Van Der Kallen, Bifunctor cohomology and cohomological finite generation for reductive groups, Duke Math. J. 151 (2010), 251-278. | MR 2598378 | Zbl 1196.20053

[18] A. Troesch, Une résolution injective des puissances symétriques tordues, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005), 1587-1634. | Numdam | MR 2172274 | Zbl 1077.18009