Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$

[Vecteurs localement analytiques des séries principales de ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$]

Liu, Ruochuan ; Xie, Bingyong ; Zhang, Yuancao

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 45 (2012), p. 167-190 / Harvested from Numdam

Résumé

La correspondance de Langlands locale $p$-adique pour ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$ associe à toute représentation irréductible $p$-adique $V$ de dimension $2$ de $G_{{\mathbb {Q}}_p}$ une représentation admissible unitaire $\Pi (V)$ de ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$. Les séries principales unitaires de ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$ sont les $\Pi (V)$ correspondant aux représentations triangulines. Dans le présent article, en utilisant la machinerie de Colmez, on détermine l’espace des vecteurs localement analytiques $\Pi (V)_\mathrm {an}$ pour toute série principale unitaire non-exceptionnelle $\Pi (V)$ de ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$, et on démontre ainsi une conjecture d’Emerton.

Abstract

The $p$-adic local Langlands correspondence for ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$ attaches to any $2$-dimensional irreducible $p$-adic representation $V$ of $G_{{\mathbb {Q}}_p}$ an admissible unitary representation $\Pi (V)$ of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$. The unitary principal series of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$ are those $\Pi (V)$ corresponding to trianguline representations. In this article, for $p>2$, using the machinery of Colmez, we determine the space of locally analytic vectors $\Pi (V)_\mathrm {an}$ for all non-exceptional unitary principal series $\Pi (V)$ of ${\mathrm {GL}}_2({\mathbb {Q}}_p)$ by proving a conjecture of Emerton.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 2961790

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2163
Classification:  11F70,  11F80,  11F85,  22E35,  22E50
Mots clés: correspondance de Langlands locale $p$-adique, $(\varphi ,\gamma )$-modules, repréresentations triangulines, séries principales unitaires, vecteurs localement analytiques

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