La filtration canonique des points de torsion des groupes $p$-divisibles

Fargues, Laurent

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 44 (2011), p. 905-961 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donnés un entier $n\ge 1$ et un groupe de Barsotti-Tate tronqué d’échelon $n$ et de dimension $d$ sur un anneau de valuation d’inégales caractéristiques, nous donnons une borne explicite sur son invariant de Hasse qui implique que sa filtration de Harder-Narasimhan possède un sous-groupe libre de rang $d$. Lorsque $n=1$ nous redémontrons également le théorème d’Abbes-Mokrane ([120]) et de Tian ([164]) par des méthodes locales. On applique cela aux familles $p$-adiques de tels objets et en particulier à certaines variétés de Shimura de type PEL afin de montrer l’existence de familles compatibles de sections de certaines correspondances de Hecke sur des voisinages tubulaires explicites du lieu ordinaire.

Abstract

Given an integer $n\ge 1$ and a truncated Barsotti-Tate group of level $n$ and dimension $d$ over an unequal characteristic valuation ring, we give an explicit bound on its Hasse invariant so that its Harder-Narasimhan filtration has a break which is free of rank $d$. When $n=1$ we also give a local proof of the Abbes-Mokrane ([120]) and Tian ([164]) theorem. We apply this to $p$-adic families of such objects and, in particular, we prove the existence of compatible families of sections of some Hecke correspondences on explicit tubular neighborhoods of the ordinary locus in some PEL type Shimura varieties.

Détail

Publié le : 2011-01-01

MR 2919687 | Zbl 1331.14044 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2157
Classification:  14K02,  14K10,  14L05,  11F33
Mots clés: groupes $p$-divisibles, variétés de Shimura

Bibliographie

[1] A. Abbes & A. Mokrane, Sous-groupes canoniques et cycles évanescents $p$-adiques pour les variétés abéliennes, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 99 (2004), 117-162. | Numdam | MR 2075884 | Zbl 1062.14057

[2] A. Abbes & T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields, Amer. J. Math. 124 (2002), 879-920. | MR 1925338 | Zbl 1084.11064

[3] F. Andreatta & C. Gasbarri, The canonical subgroup for families of Abelian varieties, Compos. Math. 143 (2007), 566-602. | MR 2330440 | Zbl 1219.11087

[4] V. G. Berkovich, Vanishing cycles for formal schemes. II, Invent. Math. 125 (1996), 367-390. | MR 1395723 | Zbl 0852.14002

[5] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique $p>0$, Lecture Notes in Math. 407, Springer, 1974. | MR 384804 | Zbl 0298.14012

[6] P. Berthelot, Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait, Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), 225-268. | Numdam | MR 584086 | Zbl 0441.14012

[7] P. Berthelot, L. Breen & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. II, Lecture Notes in Math. 930, Springer, 1982. | MR 667344 | Zbl 0516.14015

[8] S. Bosch & W. Lütkebohmert, Formal and rigid geometry. I. Rigid spaces, Math. Ann. 295 (1993), 291-317. | MR 1202394 | Zbl 0808.14017

[9] A. Chambert-Loir, Théorie de Dieudonné cristalline et périodes $p$-adiques, Bull. Soc. Math. France 126 (1998), 545-562. | Numdam | MR 1693453 | Zbl 0960.14007

[10] B. Conrad, Higher-level canonical subgroups in Abelian varieties, preprint http://math.stanford.edu/~conrad/papers/subgppaper.pdf, 2006.

[11] P. Deligne, Travaux de Shimura, Séminaire Bourbaki 1970/71, exp. no 389, Lecture Notes in Math. 244 (1971), 123-165. | Numdam | MR 498581 | Zbl 0225.14007

[12] R. Elkik, Solutions d'équations à coefficients dans un anneau hensélien, Ann. Sci. École Norm. Sup. 6 (1973), 553-603. | Numdam | MR 345966 | Zbl 0327.14001

[13] G. Faltings, Integral crystalline cohomology over very ramified valuation rings, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 117-144. | MR 1618483 | Zbl 0914.14009

[14] L. Fargues, Application de Hodge-Tate duale d'un groupe de Lubin-Tate, immeuble de Bruhat-Tits du groupe linéaire et filtrations de ramification, Duke Math. J. 140 (2007), 499-590. | MR 2362243 | Zbl 1136.14013

[15] L. Fargues, L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques, in L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld, Progr. Math. 262, Birkhäuser, 2008, 1-325. | MR 2441312 | Zbl 1136.14001

[16] L. Fargues, La filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats, J. reine angew. Math. 645 (2010), 1-39. | MR 2673421 | Zbl 1199.14015

[17] J.-M. Fontaine, Groupes $p$-divisibles sur les corps locaux, Astérisque 47-48 (1977), 262. | MR 498610 | Zbl 0377.14009

[18] J.-M. Fontaine, Formes différentielles et modules de Tate des variétés abéliennes sur les corps locaux, Invent. Math. 65 (1981/82), 379-409. | MR 643559 | Zbl 0502.14015

[19] J.-M. Fontaine, Le corps des périodes $p$-adiques, Astérisque 223 (1994), 59-111. | MR 1293971 | Zbl 0940.14012

[20] P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupe et groupes formels, in Schémas en Groupes (Sém. Géométrie Algébrique, Inst. Hautes Études Sci., 1963/64), Fasc. 2b, Exposé 7a, Inst. Hautes Études Sci., 1965, 1-65+4. | MR 213357

[21] E. Z. Goren & P. L. Kassaei, The canonical subgroup : a “subgroup-free” approach, Comment. Math. Helv. 81 (2006), 617-641. | MR 2250856 | Zbl 1122.11037

[22] E. Z. Goren & P. L. Kassaei, Canonical subgroups over Hilbert modular varieties, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 347 (2009), 985-990. | MR 2549132 | Zbl 1194.14033

[23] B. H. Gross & M. J. Hopkins, Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space, in Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992), Contemp. Math. 158, Amer. Math. Soc., 1994, 23-88. | MR 1263712 | Zbl 0807.14037

[24] L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck), Astérisque 127 (1985), 151-198. | MR 801922 | Zbl 1182.14050

[25] N. M. Katz, $p$-adic properties of modular schemes and modular forms, in Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math. 350, Springer, 1973, 69-190. | MR 447119 | Zbl 0271.10033

[26] M. Kisin & K. F. Lai, Overconvergent Hilbert modular forms, Amer. J. Math. 127 (2005), 735-783. | MR 2154369 | Zbl 1129.11020

[27] F. F. Knudsen & D. Mumford, The projectivity of the moduli space of stable curves. I. Preliminaries on “det” and “Div”, Math. Scand. 39 (1976), 19-55. | MR 437541 | Zbl 0343.14008

[28] R. E. Kottwitz, Isocrystals with additional structure, Compositio Math. 56 (1985), 201-220. | Numdam | MR 809866 | Zbl 0597.20038

[29] R. E. Kottwitz, Points on some Shimura varieties over finite fields, J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), 373-444. | MR 1124982 | Zbl 0796.14014

[30] J. Lubin, Canonical subgroups of formal groups, Trans. Amer. Math. Soc. 251 (1979), 103-127. | MR 531971 | Zbl 0431.14014

[31] W. Messing, The crystals associated to Barsotti-Tate groups : with applications to Abelian schemes, Lecture Notes in Math. 264, Springer, 1972. | MR 347836 | Zbl 0243.14013

[32] J. Rabinoff, Higher-level canonical subgroups for $p$-divisible groups, preprint arXiv :0910.3323. | MR 2905309 | Zbl pre06028609

[33] M. Raynaud, Schémas en groupes de type $(p,\dots , p)$, Bull. Soc. Math. France 102 (1974), 241-280. | Numdam | MR 419467 | Zbl 0325.14020

[34] J. Tate, $p$-divisible groups, in Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966), Springer, 1967, 158-183. | MR 231827 | Zbl 0157.27601

[35] J. Tate & F. Oort, Group schemes of prime order, Ann. Sci. École Norm. Sup. 3 (1970), 1-21. | Numdam | MR 265368 | Zbl 0195.50801

[36] Y. Tian, Canonical subgroups of Barsotti-Tate groups, Ann. of Math. 172 (2010), 955-988. | MR 2680485 | Zbl 1203.14026

[37] Y. Tian, lettre à Laurent Fargues.

[38] Y. Tian, An upper bound on the Abbes-Saito filtration for finite flat group schemes and applications, preprint arXiv :1004.4205. | MR 2950153 | Zbl 1260.14055

[39] T. Wedhorn, Ordinariness in good reductions of Shimura varieties of PEL-type, Ann. Sci. École Norm. Sup. 32 (1999), 575-618. | Numdam | MR 1710754 | Zbl 0983.14024

[40] T. Wedhorn, The dimension of Oort strata of Shimura varieties of PEL-type, in Moduli of Abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 441-471. | MR 1827029 | Zbl 1052.14026

[41] T. Zink, The display of a formal $p$-divisible group, Astérisque 278 (2002), 127-248. | MR 1922825 | Zbl 1008.14008