Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring

[Cogénérateurs explicites pour la catégorie homotopique des modules projectifs sur un anneau]

Neeman, Amnon

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 44 (2011), p. 607-629 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $R$ un anneau. Dans deux articles antérieurs [12, 14], on a étudié la catégorie d’homotopie $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$ des $R$-modules projectifs. On a construit un ensemble de générateurs pour cette catégorie et on a démontré que la catégorie est compactement générée de niveau $\aleph _1$ pour chaque anneau $R$, mais qu’elle n’est pas toujours compactement générée. Toutefois, pour $R$ un anneau suffisamment raisonnable, la catégorie $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$ est compactement générée. On a étudié l’inclusion ${j_!^{}:\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})\rightarrow \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Flat})}$ et la sous-catégorie orthogonale $\mathcal {S}={\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})}^\perp $. On a même montré que l’inclusion $\mathcal {S}\rightarrow \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Flat})$ admet un adjoint à droite  ; il s’ensuit qu’une certaine application naturelle $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})\rightarrow \mathcal {S}^\perp $ est une équivalence. Dans le présent article, on produit un ensemble de cogénérateurs pour $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$. Plus précisément, cet ensemble de cogénérateurs appartient naturellement à la catégorie équivalente $\mathcal {S}^\perp \cong \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$ ; on peut l’utiliser pour obtenir une nouvelle démonstration du fait que l’inclusion $\mathcal {S}\rightarrow \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Flat})$ admet un adjoint à droite. Mais il y a déjà plusieurs autres démonstrations de ce fait.

Abstract

Let $R$ be a ring. In two previous articles [12, 14] we studied the homotopy category $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$ of projective $R$-modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is $\aleph _1$-compactly generated for any ring $R$, and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice $R$. We furthermore analyzed the inclusion $j_!^{}:\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})\rightarrow \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Flat})$ and the orthogonal subcategory $\mathcal {S}={\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})}^\perp $. And we even showed that the inclusion $\mathcal {S}\rightarrow \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Flat})$ has a right adjoint; this forces some natural map to be an equivalence $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})\rightarrow \mathcal {S}^\perp $. In this article we produce a set of cogenerators for $\mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$. More accurately, this set of cogenerators naturally lies in the equivalent $\mathcal {S}^\perp \cong \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Proj})$; it can be used to give yet another proof of the fact that the inclusion $\mathcal {S}\rightarrow \mathbf {K}(R\text{-}\mathrm {Flat})$ has a right adjoint. But by now several proofs of this fact already exist.

Détail

Publié le : 2011-01-01

MR 2919978 | Zbl 1258.16013

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2151
Classification:  18E30,  18G05
Mots clés: catégories triangulées, générateurs, cogénérateurs, modules plats, modules projectifs

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