Purity of level $m$ stratifications

Nicole, Marc-Hubert; Vasiu, Adrian; Wedhorn, Torsten

Purity of level

m

stratifications
[Pureté des stratifications par l'échelon]

Nicole, Marc-Hubert ; Vasiu, Adrian ; Wedhorn, Torsten

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 43 (2010), p. 925-955 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps de caractéristique $p > 0$ . Soit $D_{m}$ un ${BT}_{m}$ sur $k$ (i.e., un groupe de Barsotti-Tate tronqué en échelon $m$ sur $k$ ). Soient $S$ un $k$ -schéma et $X$ un ${BT}_{m}$ sur $S$ . Soit $S_{D_{m}} (X)$ le sous-schéma de $S$ correspondant au lieu où $X$ est isomorphe à $D_{m}$ localement pour la topologie fppf. Si $p \geq 5$ , nous montrons que $S_{D_{m}} (X)$ est pur dans $S$ , i.e. l’immersion $S_{D_{m}} (X) ↪ S$ est affine. Pour $p \in {2, 3}$ , nous prouvons la pureté pour $D_{m}$ satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la $p$ -torsion $D_{m} [p]$ . Pour $p \geq 5$ , nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l’échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.

Let $k$ be a field of characteristic $p > 0$ . Let $D_{m}$ be a ${BT}_{m}$ over $k$ (i.e., an $m$ -truncated Barsotti-Tate group over $k$ ). Let $S$ be a $k$ -scheme and let $X$ be a ${BT}_{m}$ over $S$ . Let $S_{D_{m}} (X)$ be the subscheme of $S$ which describes the locus where $X$ is locally for the fppf topology isomorphic to $D_{m}$ . If $p \geq 5$ , we show that $S_{D_{m}} (X)$ is pure in $S$ , i.e. the immersion $S_{D_{m}} (X) ↪ S$ is affine. For $p \in {2, 3}$ , we prove purity if $D_{m}$ satisfies a certain technical property depending only on its $p$ -torsion $D_{m} [p]$ . For $p \geq 5$ , we apply the developed techniques to show that all level $m$ stratifications associated to Shimura varieties of Hodge type are pure.

Publié le : 2010-01-01

MR 2778452 | Zbl 1223.14052

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2136
Classification: 11E57, 11G10, 11G18, 11G25, 14F30, 14G35, 14L05, 14L15, 14L30, 14R20, 20G25
Mots clés: groupes de Barsotti-Tate tronqués, schémas affines, actions de groupe,

F

cristaux, stratifications, pureté, variétés de Shimura

@article{ASENS_2010_4_43_6_925_0,
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Nicole, Marc-Hubert; Vasiu, Adrian; Wedhorn, Torsten. Purity of level $m$ stratifications. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 43 (2010) pp. 925-955. doi : 10.24033/asens.2136. http://gdmltest.u-ga.fr/item/ASENS_2010_4_43_6_925_0/

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