Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view. I. Realizations and compactifications of buildings

[Théorie de Bruhat-Tits du point de vue de Berkovich I. Réalisations et compactifications d'immeubles]

Rémy, Bertrand ; Thuillier, Amaury ; Werner, Annette

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 43 (2010), p. 461-554 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous étudions les immeubles de Bruhat-Tits et leurs compactifications au moyen de la géométrie analytique sur les corps complets non archimédiens au sens de Berkovich. Pour tout groupe réductif ${\rm G}$ sur un corps non archimédien convenable $k$, nous définissons une application de l’immeuble de Bruhat-Tits $\mathcal {B}({\rm G},k)$ vers l’espace analytique de Berkovich ${\rm G}^{\rm an}$ associé à $\rm G$. En composant cette application avec la projection sur les variétés de drapeaux, nous obtenons une famille de compactifications de $\mathcal {B}({\rm G},k)$. Ceci généralise des résultats de Berkovich sur le cas déployé. En outre, nous démontrons que les strates au bord des immeubles compactifiés sont précisément les immeubles de Bruhat-Tits associés à certaines classes de sous-groupes paraboliques. Nous étudions également les stabilisateurs des points au bord et démontrons un théorème de décomposition de Bruhat mixte pour ces groupes.

Abstract

We investigate Bruhat-Tits buildings and their compactifications by means of Berkovich analytic geometry over complete non-Archimedean fields. For every reductive group $\mathrm {G}$ over a suitable non-Archimedean field $k$ we define a map from the Bruhat-Tits building $\mathcal {B}(\mathrm {G},k)$ to the Berkovich analytic space $\mathrm {G}^{\rm an}$ associated with $\mathrm {G}$. Composing this map with the projection of $\mathrm {G}^{\rm an}$ to its flag varieties, we define a family of compactifications of $\mathcal {B}(\mathrm {G},k)$. This generalizes results by Berkovich in the case of split groups. Moreover, we show that the boundary strata of the compactified buildings are precisely the Bruhat-Tits buildings associated with a certain class of parabolics. We also investigate the stabilizers of boundary points and prove a mixed Bruhat decomposition theorem for them.

Détail

Publié le : 2010-01-01

MR 2667022 | Zbl 1198.51006 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2126
Classification:  20E42,  51E24,  14L15,  14G22
Mots clés: groupe algébrique, corps local, géométrie de Berkovich, immeuble de Bruhat-Tits, compactification

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