Hodge-Tate and de Rham representations in the imperfect residue field case

[Représentations de Hodge-Tate et de de Rham dans le cas d'un corps résiduel imparfait]

Morita, Kazuma

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 43 (2010), p. 341-355 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $K$ un corps local $p$-adique de corps résiduel $k$ tel que $[k : k^p] = p^e < +\infty $ et soit $V$ une représentation $p$-adique de $\text{\rm Gal}(\overline{K}/K)$. Nous utilisons la théorie des modules différentiels $p$-adiques pour montrer que $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $\text{\rm Gal}(\overline{K}/K)$ si et seulement si $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $\text{\rm Gal}(\overline{K^{\text{\rm pf}}}/K^{\text{\rm pf}})$ où $K^{\text{\rm pf}}/K$ est un certain corps local $p$-adique de corps résiduel le plus petit corps parfait $k^{\text{\rm pf}}$ contenant $k$.

Abstract

Let $K$ be a $p$-adic local field with residue field $k$ such that $[k : k^p] = p^e < +\infty $ and $V$ be a $p$-adic representation of $\text{\rm Gal}(\overline{K}/K)$. Then, by using the theory of $p$-adic differential modules, we show that $V$ is a Hodge-Tate (resp. de Rham) representation of $\text{\rm Gal}(\overline{K}/K)$ if and only if $V$ is a Hodge-Tate (resp. de Rham) representation of $\text{\rm Gal}(\overline{K^{\text{\rm pf}}}/K^{\text{\rm pf}})$ where $K^{\text{\rm pf}}/K$ is a certain $p$-adic local field with residue field the smallest perfect field $k^{\text{\rm pf}}$ containing $k$.

Détail

Publié le : 2010-01-01

MR 2662667 | Zbl 1195.11153

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2122
Classification:  11F80,  12H25,  14F30
Mots clés: représentation galoisienne $p$-adique, cohomologie $p$-adique, équation différentielle $p$-adique

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