Monodromy of a family of hypersurfaces

[Monodromie d'une famille d'hypersurfaces]

Di Gennaro, Vincenzo ; Franco, Davide

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 42 (2009), p. 517-529 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $Y$ une variété projective complexe lisse irréductible de dimension $m+1$, plongée dans un espace projectif. Soit $Z$ un sous-schéma fermé de $Y$, et soit $\delta $ un entier positif tel que $\mathcal {I}_{Z,Y}(\delta )$ soit engendré par ses sections globales. Fixons un entier $d\ge \delta +1$, et supposons que le diviseur général $X \in |H^0(Y,\mathcal {I}_{Z,Y}(d))|$ soit lisse. Désignons par $H^m(X;\mathbb {Q})_{\perp Z}^{\mathrm {van}}$ le quotient de $H^m(X;\mathbb {Q})$ par la cohomologie de $Y$ et par les classes des composantes irréductibles de $Z$ de dimension $m$. Dans cet article, nous prouvons que la représentation de monodromie sur $H^m(X;\mathbb {Q})_{\perp Z}^{\mathrm {van}}$ pour la famille des diviseurs lisses $X \in |H^0(Y,\mathcal {I}_{Z,Y}(d))|$ est irréductible.

Abstract

Let $Y$ be an $(m+1)$-dimensional irreducible smooth complex projective variety embedded in a projective space. Let $Z$ be a closed subscheme of $Y$, and $\delta $ be a positive integer such that $\mathcal {I}_{Z,Y}(\delta )$ is generated by global sections. Fix an integer $d\ge \delta +1$, and assume the general divisor $X \in |H^0(Y,\mathcal {I}_{Z,Y}(d))|$ is smooth. Denote by $H^m(X;\mathbb {Q})_{\perp Z}^{\mathrm {van}}$ the quotient of $H^m(X;\mathbb {Q})$ by the cohomology of $Y$ and also by the cycle classes of the irreducible components of dimension $m$ of $Z$. In the present paper we prove that the monodromy representation on $H^m(X;\mathbb {Q})_{\perp Z}^{\mathrm {van}}$ for the family of smooth divisors $X \in |H^0(Y,\mathcal {I}_{Z,Y}(d))|$ is irreducible.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2543331 | Zbl 1194.14016

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2101
Classification:  14B05,  14C20,  14C21,  14C25,  14D05,  14M10,  32S55
Mots clés: variété projective lisse, système linéaire, théorie de Lefschetz, monodromie, singularité isolée, fibration de Milnor

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