$\mathcal {D}$-modules arithmétiques surholonomes

Caro, Daniel

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 42 (2009), p. 141-192 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $k$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, $U$ une variété sur $k$ et $F$ une puissance de Frobenius. Nous construisons la catégorie des ($F$-)$\mathcal {D}$-modules arithmétiques surholonomes sur $U$ et celle des ($F$-)complexes de $\mathcal {D}$-modules arithmétiques sur $U$ surholonomes. Nous montrons que les complexes surholonomes sont stables par images directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux. De plus, lorsque $U$ est lisse, nous vérifions que les $F$-isocristaux surconvergents unités sur $U$ sont surholonomes. Cela implique leur holonomie, ce qui prouve en partie une conjecture de Berthelot.

Abstract

Let $k$ be a perfect field of characteristic $p >0$, $U$ be a variety over $k$ and $F$ be a power of Frobenius. We construct the category of overholonomic arithmetic ($F$-)$\mathcal {D}$-modules over $U$ and the category of overholonomic ($F$-)complexes of arithmetic $\mathcal {D}$-modules over $U$. We show that the overholonomicity is stable under direct images, inverse images, extraordinary inverse images, extraordinary direct images, dual functors. Moreover, when $U$ is smooth, we check that unit-root overconvergent $F$-isocrystals on $U$ are overholonomic. This implies that they are holonomic, which proves in part a Berthelot’s conjecture.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2518895 | Zbl 1168.14013 | 5 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2092
Classification:  14F10,  14F30
Mots clés: $\mathcal {D}$-modules arithmétiques, holonomie, cohomologie $p$-adique

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