Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?

Le Calvez, Patrice

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 41 (2008), p. 141-176 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $f$ un homéomorphisme du plan qui préserve l’orientation et qui a un point périodique $z^{*}$ de période $q\ge 2$. Nous montrons qu’il existe un point fixe $z$ tel que le nombre d’enlacement de $z^{*}$ et $z$ ne soit pas nul. En d’autres termes, le nombre de rotation de l’orbite de $z^{*}$ dans l’anneau $\mathbb {R}^{2}\setminus \lbrace z\rbrace $ est un élément non nul de $\mathbb {R}/\mathbb {Z} $. Ceci donne une réponse positive à une question posée par John Franks.

Abstract

Let $f$ be an orientation-preserving homeomorphism of the euclidean plane $\mathbb {R}^{2}$ that has a periodic point $z^{*}$ of period $q\ge 2$. We prove the existence of a fixed point $z$ such that the linking number between $z^{*}$ and $z$ is different from zero. That means that the rotation number of $z^{*}$ in the annulus $\mathbb {R}^{2}\setminus \lbrace z\rbrace $ is a non-zero element of $\mathbb {R}/\mathbb {Z}$. This gives a positive answer to a question asked by John Franks.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2423312 | Zbl 1168.37010

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2065
Classification:  37C25,  37E30,  37E35,  37B25,  37B30
Mots clés: orbite périodique, homéomorphisme du plan, nombre d'enlacement, indice, feuilletage dynamiquement transverse

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