Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

Rajaonarison, Lyliane Irène ; Rabeherimanana, Toussaint Joseph

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012), p. 271-296 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple $(X^{\varepsilon },\nu ^{\varepsilon })$, solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

dXtε=εσνε(t)(Xtε)dWt+bνε(t)(Xtε)dt;X0ε=x∈ℝd

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants :

Premier cas : $\nu ^{\varepsilon }$ est indépendant du mouvement brownien $W$ et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas : $\nu ^{\varepsilon }$ est un processus markovien avec un nombre fini d’états $\lbrace 1,...,n\rbrace $ vérifiant

ℙ{νε(t+Δ)=j/νε(t)=i,Xε(t)=x}=dij(x)Δ+o(Δ)

uniformément dans $\mathbb{R}^d$ pourvu que $\Delta \downarrow 0,\;1\le i,\; j\le n,\;i\ne j$.

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg & Freidlin [7] au cas où $\sigma $ est quelconque.

Abstract

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple $(X^{\varepsilon },\nu ^{\varepsilon })$, solution of Itô integral:

dXtε=εσνε(t)(Xtε)dWt+bνε(t)(Xtε)dt;X0ε=x∈ℝd

under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case: $\nu ^{\varepsilon }$ is independant of the brownian motion $W$ and obeys a large deviations principle;

Second case: $\nu ^{\varepsilon }$ is a markovian process with finite states $\lbrace 1,...,n\rbrace $ such that $\mathbb{P}\lbrace \nu ^{\varepsilon }(t+\Delta )=j/\nu ^{\varepsilon }(t)=i,\;X^{\varepsilon }(t)=x\rbrace =d_{ij}(x)\Delta +o(\Delta )$ uniformely in $\mathbb{R}^d$, provided $\Delta \downarrow 0,\;1\le i,\; j\le n,\;i\ne j$.

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to general $\sigma $.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 2978323 | Zbl 1264.60022

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.314
Classification:  60F17,  60F10
Mots clés: Principe de grandes déviations, équations d’évolutions aléatoires, systèmes d’E.D.P., goulots de sortie

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