Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés

Mascré, David

Mascré, David

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011), p. 273-300 / Harvested from Numdam

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Résumé

Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :

Etant donné $(X, ρ, μ)$ un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés $p, q, α \in R$ tels que $1 \leq p < 1 / α$ , $1 / q = 1 / p - α$ , $0 < α < 1$ , l’opérateur intégral fractionnaire $T_{α}$ défini en posant $T_{α} f (x) = \int_{X} V {(x, y)}^{α - 1} f (y) d μ (y)$ vérifie :

Si $p > 1$ , alors

T_{α} : L^{p} (X) \to L^{q} (X) .

Si $p = 1$ , alors

T_{α} : L^{1} (X) \to L^{q, \infty} (X) .

Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali $(X, ρ, μ)$ tel que $\forall x \in X$ ,

V (x, r) \leq c r^{d}, \forall r < 1 et V (x, r) \leq c r^{D}, \forall r \geq 1,

étant donné $p, q, a, n \in R$ tels que $1 \leq p < n / a$ , $1 / q = 1 / p - a / n$ , $d \leq n \leq D$ , étant donnée $k_{a} : X \times X \to R$ une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en $0$ et en $+ \infty$ ) suivantes

(i) $k_{a} (x, y) \leq c ρ {(x, y)}^{a - d} \forall x, y \in X$ tels que $ρ (x, y) < 1$ ,

(ii) $k_{a} (x, y) \leq c ρ {(x, y)}^{a - D} \forall x, y \in X$ tels que $ρ (x, y) \geq 1$ ,

l’opérateur intégral fractionnaire $I_{a}$ associé au noyau $k_{a}$ vérifie :

Si $p > 1$ ,

I_{a} : L^{p} (X) \to L^{q} (X) .

Si $p = 1$ ,

I_{a} : L^{1} (X) \to L^{q, \infty} (X) .

Publié le : 2011-01-01

MR 2896490 | Zbl 1234.26017

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.300
Classification: 26A33, 26D10, 42B35

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     author = {Mascr\'e, David},
     title = {In\'egalit\'es pour l'op\'erateur int\'egral fractionnaire sur diff\'erents espaces m\'etriques mesur\'es},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
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     year = {2011},
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Mascré, David. Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) pp. 273-300. doi : 10.5802/ambp.300. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AMBP_2011__18_2_273_0/

Bibliographie

[1] Coifman, Ronald R.; Weiss, Guido Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes, Springer-Verlag, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 242 (1971) (Étude de certaines intégrales singulières) | MR 499948 | Zbl 0224.43006

[2] Forzani, Liliana; Scotto, Roberto; Sjögren, Peter; Urbina, Wilfredo On the $L^{p}$ boundedness of the non-centered Gaussian Hardy-Littlewood maximal function, Proc. Amer. Math. Soc., Tome 130 (2002) no. 1, p. 73-79 (electronic) | Article | MR 1855622 | Zbl 0991.42012

[3] García-Cuerva, José; Gatto, A. Eduardo Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures, Studia Math., Tome 162 (2004) no. 3, pp. 245-261 | Article | MR 2047654 | Zbl 1045.42006

[4] García-Cuerva, José; Martell, José María Two-weight norm inequalities for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous spaces, Indiana Univ. Math. J., Tome 50 (2001) no. 3, pp. 1241-1280 | Article | MR 1871355 | Zbl 1023.42012

[5] Gatto, A. Eduardo; Vági, Stephen Fractional integrals on spaces of homogeneous type, Analysis and partial differential equations, Dekker, New York (Lecture Notes in Pure and Appl. Math.) Tome 122 (1990), pp. 171-216 | MR 1044788 | Zbl 0695.43006

[6] Hajłasz, Piotr; Koskela, Pekka Sobolev met Poincaré, Mem. Amer. Math. Soc., Tome 145 (2000) no. 688, pp. x+101 | MR 1683160 | Zbl 0954.46022

[7] Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. Some properties of fractional integrals. I, Math. Z., Tome 27 (1928) no. 1, pp. 565-606 | Article | JFM 54.0275.05 | MR 1544927

[8] Hedberg, Lars Inge On certain convolution inequalities, Proc. Amer. Math. Soc., Tome 36 (1972), pp. 505-510 | Article | MR 312232 | Zbl 0283.26003

[9] Heinonen, Juha Lectures on analysis on metric spaces (1999) (Preprint) | Zbl 0985.46008

[10] Heinonen, Juha Lectures on analysis on metric spaces, Springer-Verlag, New York, Universitext (2001) | MR 1800917 | Zbl 0985.46008

[11] Lieb, Elliott H.; Loss, Michael Analysis, American Mathematical Society, Providence, RI, Graduate Studies in Mathematics, Tome 14 (1997) | MR 1415616 | Zbl 0966.26002

[12] Macías, Roberto A.; Segovia, Carlos Singular integrals on generalized Lipschitz and Hardy spaces, Studia Math., Tome 65 (1979) no. 1, pp. 55-75 | MR 554541 | Zbl 0479.42014

[13] Malý, Jan; Pick, Luboš The sharp Riesz potential estimates in metric spaces, Indiana Univ. Math. J., Tome 51 (2002) no. 2, pp. 251-268 | Article | MR 1909289 | Zbl 1038.46027

[14] Martell, J-M. Desigualdades con pesos en el Análisis de Fourier : de los espacios de tipo homogéneo a la medidas no doblantes, Facultad de Ciencias. Universidad Autonoma de Madrid (2001) (Ph. D. Thesis)

[15] Mascré, David Inégalités à poids pour l’opérateur de Hardy-Littlewood-Sobolev dans les espaces métriques mesurés à deux demi-dimensions, Colloq. Math., Tome 105 (2006) no. 1, pp. 77-104 | Article | MR 2242501 | Zbl 1119.42007

[16] Mattila, Pertti Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge University Press, Cambridge, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Tome 44 (1995) (Fractals and rectifiability) | Article | MR 1333890 | Zbl 0819.28004

[17] Orobitg, Joan; Pérez, Carlos $A_{p}$ weights for nondoubling measures in $R^{n}$ and applications, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 354 (2002) no. 5, p. 2013-2033 (electronic) | Article | MR 1881028 | Zbl 0998.42012

[18] Sawyer, E.; Wheeden, R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and homogeneous spaces, Amer. J. Math., Tome 114 (1992) no. 4, pp. 813-874 | Article | MR 1175693 | Zbl 0783.42011

[19] Sawyer, Eric T.; Wheeden, Richard L.; Zhao, Shiying Weighted norm inequalities for operators of potential type and fractional maximal functions, Potential Anal., Tome 5 (1996) no. 6, pp. 523-580 | Article | MR 1437584 | Zbl 0873.42012

[20] Stein, E. M.; Weiss, Guido Fractional integrals on $n$ -dimensional Euclidean space, J. Math. Mech., Tome 7 (1958), pp. 503-514 | MR 98285 | Zbl 0082.27201

[21] Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press, Princeton, N.J., Princeton Mathematical Series, No. 30 (1970) | MR 290095 | Zbl 0207.13501

[22] Stein, Elias M. Harmonic analysis : real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, Princeton, NJ, Princeton Mathematical Series, Tome 43 (1993) (With the assistance of Timothy S. Murphy, Monographs in Harmonic Analysis, III) | MR 1232192 | Zbl 0821.42001