Existence of strong solutions for nonisothermal Korteweg system

[Existence de solutions fortes pour le système de Korteweg]

Haspot, Boris

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009), p. 431-481 / Harvested from Numdam

Résumé

Ce travail est consacré à l’étude d’un modèle de fluide compressible non isotherme avec un terme de capillarité dérivé par J. E Dunn et J. Serrin (1985) dans [9, 16], qui peut-être utilisé comme un modèle de transition de phase.

Nous distinguons deux cas en fonction que les coefficients physiques ne dépendent que de la densité ou non. Dans le premier cas nous travaillons dans des espaces critiques et prouvons l’existence de solutions fortes proches d’un état d’équilibre. Pour des données grandes on montre l’existence et l’unicité de solutions en temps fini.

Dans le cas général où les coefficients physiques dépendent à la fois de la densité et de la température, des données initiales plus régulières sont nécessaires afin de contrôler la norme $L^{\infty }$ de la température. Nous prouvons alors l’existence de solutions fortes globales avec données petites ainsi que l’existence de solutions fortes avec données initiales grandes sur un intervalle de temps fini.

Abstract

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general non isothermal model of capillary fluids derived by J. E Dunn and J. Serrin (1985) in [9, 16], which can be used as a phase transition model.

We distinguish two cases, when the physical coefficients depend only on the density, and the general case. In the first case we can work in critical scaling spaces, and we prove global existence of solution and uniqueness for data close to a stable equilibrium. For general data, existence and uniqueness is stated on a short time interval.

In the general case with physical coefficients depending on density and on temperature, additional regularity is required to control the temperature in $L^{\infty }$ norm. We prove global existence of solution close to a stable equilibrium and local in time existence of solution with more general data. Uniqueness is also obtained.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2568873 | Zbl pre05629448

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.274
Classification:  76N10,  35D05,  35Q05
Mots clés: PDE, Harmonic analysis

Bibliographie

[1] Anderson, D. M.; Mcfadden, G. B.; Wheller, A. A. Diffuse-interface methods in fluid mech., In Annal review of fluid mechanics, Tome 30 (1998), pp. 139-165 | Article

[2] Bahouri, H.; Chemin, J.-Y. Équations d’ondes quasilinéaires et estimation de Strichartz, Amer. J. Mathematics, Tome 121 (1999), pp. 1337-1377 | Article | MR 1719798 | Zbl 0952.35073

[3] Bourdaud, G. Réalisations des espaces de Besov homogènes, Arkiv für Mathematik, Tome 26 (1998), pp. 41-54 | Article | MR 948279 | Zbl 0661.46026

[4] Cahn, J. W.; Hilliard, J. E. Free energy of a nonuniform system, I. Interfacial free energy, J. Chem. Phys, Tome 28 (1998), pp. 258-267 | Article

[5] Chemin, J.-Y. About Navier-Stokes system (1996) (Prépublication du Laboratoire d’Analyse Numérique de Paris 6, R96023)

[6] Chemin, J.-Y. Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, J. d’Analyse Math, Tome 77 (1999), pp. 27-50 | Article | MR 1753481 | Zbl 0938.35125

[7] Danchin, R. Local Theory in critical Spaces for Compressible Viscous and Heat-Conductive Gases, Communication in Partial Differential Equations, Tome 26 (78) (2001), pp. 1183-1233 | Article | MR 1855277 | Zbl 1007.35071

[8] Danchin, R.; Desjardins, B. Existence of solutions for compressible fluid models of Korteweg type, Annales de l’IHP, Analyse non linéaire, Tome 18 (2001), pp. 97-133 | Article | Numdam | MR 1810272 | Zbl 1010.76075

[9] Dunn, J. E.; Serrin, J. On the thermomechanics of interstitial working, Arch. Rational Mech. Anal, Tome 88(2) (1985), pp. 95-133 | MR 775366 | Zbl 0582.73004

[10] Gurtin, M. E.; Poligone, D.; Vinals, J. Two-phases binary fluids and immiscible fluids described by an order parameter, Math. Models Methods Appl. Sci, Tome 6(6) (1996), pp. 815-831 | Article | MR 1404829 | Zbl 0857.76008

[11] Hattori, H.; Li, D. The existence of global solutions to a fluid dynamic model for materials for Korteweg type, J. Partial Differential Equations, Tome 9(4) (1996), pp. 323-342 | MR 1426082 | Zbl 0881.35095

[12] Hattori, H.; Li, D. Global Solutions of a high-dimensional system for Korteweg materials, J. Math. Anal. Appl, Tome 198(1) (1996), pp. 84-97 | Article | MR 1373528 | Zbl 0858.35124

[13] Jamet, D.; Lebaigue, O.; Coutris, N.; Delhaye, J. M. The second gradient method for the direct numerical simulation of liquid-vapor flows with phase change, J. Comput. Phys, Tome 169(2) (2001), pp. 624-651 | Article | MR 1836527 | Zbl 1047.76098

[14] Korteweg, D. J. Sur la forme que prennent les équations du mouvement des fluides si l’on tient compte des forces capillaires par des variations de densité, Arch. Néer. Sci. Exactes Sér, Tome II, 6 (1901), pp. 1-24

[15] Meyer, Y. Ondelettes et opérateurs, tome 3, Hermann, Paris (1991) | MR 1085487 | Zbl 0694.41037

[16] Rowlinson, J. S. Translation of J. D. Van Der Waals, The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density, J. Statist. Phys., Tome 20(2) (1979), pp. 197-244 | Article | MR 523642

[17] Truedelland, C.; Noll, W. The nonlinear field theories of mechanics, Springer-Verlag, Berlin (1992) | MR 1215940 | Zbl 0779.73004