Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

Allaoui, Salah Eddine

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009), p. 399-429 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans ce travail on s’intéresse aux opérateurs de composition $T_f(g):= f\circ g$ sur certains espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel à valeurs dans $\mathbb{R}^{m}$. Dans le but de caractériser les fonctions qui opèrent, on établit que la condition de Lipschitz, locale ou globale suivant que l’espace $B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)$ ou $F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)$ se plonge ou non dans $L_\infty ({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R}^m)$, est nécessaire pour $s>0$, et que l’appartenance locale au même espace l’est aussi pour $m\le n$. Nous étudions enfin la régularité de l’opérateur $T_f$.

Abstract

We are interested in the superposition operators $T_f(g):= f\circ g$ on vector valued Besov and Lizorkin-Triebel spaces of positive smoothness exponent $s$. As a first step towards the characterization of functions which operate, we establish that the local Lipschitz continuity of $f$ is necessary if the space $B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)$ or $F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m)$ is imbedded into $L_\infty ({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R}^m)$, and that the uniform Lipschitz continuity of $f$ is necessary if the space is not imbedded into $L_\infty ({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R}^m)$. We prove also that the local membership to the same space is necessary for $m\le n$. We finally study the regularity of the superposition operator $T_f$.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2568872 | Zbl 1182.46019

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.273
Classification:  46E35,  47H30
Mots clés: Lizorkin-Triebel spaces, Besov spaces, Continuity and differentiability of superposition operators

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