Capitulation des 2-classes d’idéaux de Q(-pq(2+2))pq±5mod8
Azizi, Abdelmalek ; Talbi, Mohammed
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009), p. 57-69 / Harvested from Numdam

Soient K=Q(-pq(2+2))p et q deux nombres premiers différents tels que pq±5mod8, K 2 (1) le 2-corps de classes de Hilbert de K, K 2 (2) le 2-corps de classes de Hilbert de K 2 (1) et G le groupe de Galois de K 2 (2) /K. D’après [4], la 2-partie C 2,K du groupe de classes de K est de type (2,2), par suite K 2 (1) contient trois extensions F i /K ; i=1,2,3. Dans ce papier, on s’interesse au problème de capitulation des 2-classes d’idéaux de K dans F i (i=1,2,3) et à déterminer la structure de G.

Let K=Q(-pq(2+2)) where p and q are two different prime numbers such that pq±5mod8, K 2 (1) the Hilbert 2-class field of K, K 2 (2) the Hilbert 2-class field of K 2 (1) and G the Galois group of K 2 (2) /K. According to [4], C 2,K , the Sylow 2-subgroup of the ideal class group of K is isomorphic to Z/2Z×Z/2Z, consequently K 2 (1) /K contains three extensions F i /K (i=1,2,3). In this paper, we are interested in the problem of capitulation of the classes of C 2,K in F i (i=1,2,3) and to determine the structure of G.

Publié le : 2009-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.253
Classification:  11R27,  11R29,  11R37
Mots clés: Corps Quartiques, Groupes d’Unités, Corps de Classes de Hilbert, Capitulation
@article{AMBP_2009__16_1_57_0,
     author = {Azizi, Abdelmalek and Talbi, Mohammed},
     title = {Capitulation des $2$-classes d'id\'eaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ o\`u $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {16},
     year = {2009},
     pages = {57-69},
     doi = {10.5802/ambp.253},
     zbl = {1169.11046},
     mrnumber = {2514527},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AMBP_2009__16_1_57_0}
}
Azizi, Abdelmalek; Talbi, Mohammed. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) pp. 57-69. doi : 10.5802/ambp.253. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AMBP_2009__16_1_57_0/

[1] Azizi, A. Unités de certains corps de nombres imaginaires et abéliens sur Q, Annales des Sciences Mathématiques du Québec, Tome 23 (1999), pp. 15-21 | MR 1721726 | Zbl 1041.11072

[2] Azizi, A. Capitulation des 2-classes d’idéaux de Q(2pq,i), Acta Arithmetica, Tome 94 (2000), pp. 383-399 | MR 1779950 | Zbl 0953.11033

[3] Azizi, A.; Mouhib, A. Capitulation des 2-classes d’idéaux de Q(2,d)d est un entier naturel sans facteurs carrés, Acta Arithmetica, Tome 109 (2003), pp. 27-63 | Article | MR 1980850 | Zbl 1077.11078

[4] Brown, E.; Parry, C. J. The 2-class group of certain biquadratic number fields, II, Pac. Jour. of Math., Tome 78 (1978), pp. 11-26 | MR 513279 | Zbl 0405.12009

[5] Hasse, H. Neue Begründung der Theorie des Normenrestsymbols, J. Reine Angew. Math., Tome 162 (1930), pp. 134-143 | Article | JFM 56.0165.02

[6] Heider, F. P.; Schmithals, B. Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten Primzyklischen Erweiterungen, J. Reine Angew. Math., Tome 366 (1982), pp. 1-25 | MR 671319 | Zbl 0505.12016

[7] Kaplan, P. Sur le 2-groupe des classes d’idéaux des corps quadratiques, J. Reine Angew. Math., Tome 283/284 (1976), pp. 313-363 | Article | MR 404206 | Zbl 0337.12003

[8] Kisilevsky, H. Number fields with class number congruent to 4mod8 and Hilbert’s theorem 94, J. Number Theory, Tome 8 (1976), pp. 271-279 | Article | MR 417128 | Zbl 0334.12019

[9] Kuroda, S. Über den Dirichletschen Zahlkörper, J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo Sec. I, Tome 4 (1943), pp. 383-406 | MR 21031 | Zbl 0061.05901

[10] Lemmermeyer, F. Kuroda’s class number formula, Acta Arith., Tome 66 (1994), pp. 245-260 | MR 1276992 | Zbl 0807.11052

[11] Wada, H. On the class number and the unit group of certain algebraic number fields, Tokyo U. Fac. of Sc. J., Serie I, Tome 13 (1966), pp. 201-209 | MR 214565 | Zbl 0158.30103