La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers

Boudaoud, Abdelmadjid

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 13 (2006), p. 103-109 / Harvested from Numdam

Résumé

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q>0$ et $k>0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0<\left|s\right|\le q$, on ait $ n+s=\left|s\right|t_{1}...t_{k} $ où $t_{1}<...<t_{k}$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q>0$ et $k>0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[ -q,q\right] $, on ait $ n+s=lt_{1}...t_{k} $ où $t_{1}<...<t_{k}$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[ 1,2q+1\right] $. La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.

Abstract

As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers $q>0$ and $k>0$, the existence of an infinite set $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ such that, for each $n\in L_{q,k}$ and every integer $s$, $0<\left|s\right|\le q$, we have $n+s=\left|s\right|t_{1}...t_{k}$ where $t_{1}<...<t_{k} $are prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ such that , for each $n\in M_{q,k}$ and every integer $s\in \left[ -q,q\right] $ (including $0$), we have $n+s=lt_{1}...t_{k}$ where $t_{1}<...<t_{k} $ are prime numbers and $l\in \left[ 1,2q+1\right] $ is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each unlimited member is a product of two unlimited integers.

Détail

Publié le : 2006-01-01

MR 2233013 | Zbl 1172.11307

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.215
Classification:  11N32,  26E35,  11A51,  11A41,  11B83
Mots clés: Conjecture de Dickson, analyse non standard, nombres premiers, suites d’entiers naturels.

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