On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations

Grébert, Benoît; Villegas-Blas, Carlos

On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations
[Echange d'énergie entre modes résonants dans une équation de Schrödinger non linéaire cubique]

Grébert, Benoît ; Villegas-Blas, Carlos

Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, Tome 28 (2011), p. 127-134 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous considérons l'équation de Schödinger non linéaire $i ψ_{t} = - ψ_{x x} \pm 2 \cos 2 x {| ψ |}^{2} ψ, x \in S^{1}, t \in ℝ$ et nous montrons la solution de cette équation ayant pour donnée initiale $ψ (0, x) = ϵ (A \exp (i x) + B \exp (- i x))$ avec ε petit, va échanger périodiquement de l'énergie entre les modes de Fourier $e^{i x}$ et $e^{- i x}$ dès que $A^{2} \neq B^{2}$ . Cet effet de battement, dont la période est de l'ordre de $ϵ^{- 2}$ , est mis en évidence pour des temps de l'ordre de $ϵ^{- 5 / 2}$ . Nous présentons aussi quelques généralisations.

We consider the nonlinear Schrödinger equation $i ψ_{t} = - ψ_{x x} \pm 2 \cos 2 x {| ψ |}^{2} ψ, x \in S^{1}, t \in ℝ$ and we prove that the solution of this equation, with small initial datum $ψ (0, x) = ϵ (A \exp (i x) + B \exp (- i x))$ , will periodically exchange energy between the Fourier modes $e^{i x}$ and $e^{- i x}$ as soon as $A^{2} \neq B^{2}$ . This beating effect is described up to time of order $ϵ^{- 5 / 2}$ while the frequency is of order $ϵ^{2}$ . We also discuss some generalizations.

Publié le : 2011-01-01

MR 2765514 | Zbl 1216.35137 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2010.11.004
Classification: 37K45, 35Q55, 35B34, 35B35
Mots clés: Forme normale, Equation de Schrödinger non linéaire, Résonances, Échange d'énergie

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     author = {Gr\'ebert, Beno\^\i t and Villegas-Blas, Carlos},
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Grébert, Benoît; Villegas-Blas, Carlos. On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations. Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, Tome 28 (2011) pp. 127-134. doi : 10.1016/j.anihpc.2010.11.004. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIHPC_2011__28_1_127_0/

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