Controllability of a string submitted to unilateral constraint

Ammar-Khodja, Farid ; Micu, Sorin ; Münch, Arnaud

Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, Tome 27 (2010), p. 1097-1119 / Harvested from Numdam

Résumé

Cet article étudie les propriétés de contrôlabilité d'une corde homogène de longeur un, soumise à un obstacle dépendant du temps (décrit par la fonction $ {\{\psi (t)\}}_{0⩽t⩽T}$) à l'extrémité $ x=1$. Le contrôle Dirichlet agit à l'extrémité $ x=0$. La corde est modélisée par l'équation des ondes $ {y}^{″}-{y}_{xx}=0$ dans $ (t,x)\in (0,T)\times (0,1)$, tandis que l'obstacle est représenté par les conditions de Signorini $ y(t,1)⩾\psi (t)$, $ {y}_{x}(t,1)⩾0$, $ {y}_{x}(t,1)(y(t,1)-\psi (t))=0$ sur $ (0,T)$. La méthode des caractéristiques et un argument de point fixe permettent de réduire le problème à l'analyse des solutions en $ x=1$. Nous prouvons que, pour tout $ T>2$ et donnée initiale $ ({y}^{0},{y}^{1})\in {H}^{1}(0,1)\times {L}^{2}(0,1)$ avec $ \psi (0)⩽{y}^{0}(1)$, le système est contrôlable à zéro avec des contrôles dans $ {H}^{1}(0,T)$. Deux approches sont utilisées. On introduit tout d'abord un système pénalisé en $ {y}_{ϵ}$, transformant les conditions de Signorini en l'égalité $ {y}_{ϵ,x}(t,1)={ϵ}^{-1}{[{y}_{ϵ}(t,1)-\psi (t)]}^{-}$, ϵ étant un paramètre positif. On construit explicitement une famille de contrôle du problème pénalisé uniformément bornée par rapport à ϵ dans $ {H}^{1}(0,T)$. Cela nous permet de passer à la limite et d'obtenir un contrôle pour le système initial. Une approche plus directe, relevant de la théorie des inéquations différentielles, conduit à un résultat positif similaire. Quelques applications numériques complètent l'étude.

Abstract

This article studies the controllability property of a homogeneous linear string of length one, submitted to a time dependent obstacle (described by the function $ {\{\psi (t)\}}_{0⩽t⩽T}$) located below the extremity $ x=1$. The Dirichlet control acts on the other extremity $ x=0$. The string is modelled by the wave equation $ {y}^{″}-{y}_{xx}=0$ in $ (t,x)\in (0,T)\times (0,1)$, while the obstacle is represented by the Signorini's conditions $ y(t,1)⩾\psi (t)$, $ {y}_{x}(t,1)⩾0$, $ {y}_{x}(t,1)(y(t,1)-\psi (t))=0$ in $ (0,T)$. The characteristic method and a fixed point argument allow to reduce the problem to the analysis of the solutions at $ x=1$. We prove that, for any $ T>2$ and initial data $ ({y}^{0},{y}^{1})\in {H}^{1}(0,1)\times {L}^{2}(0,1)$ with $ \psi (0)⩽{y}^{0}(1)$, the system is null controllable with controls in $ {H}^{1}(0,T)$. Two distinct approaches are used. We first introduce a penalized system in $ {y}_{ϵ}$, transforming the Signorini's condition into the simpler one $ {y}_{ϵ,x}(t,1)={ϵ}^{-1}{[{y}_{ϵ}(t,1)-\psi (t)]}^{-}$, ϵ being a small positive parameter. We construct explicitly a family of controls of the penalized problem, uniformly bounded with respect to ϵ in $ {H}^{1}(0,T)$. This enables us to pass to the limit and to obtain a control for the initial equation. A more direct approach, based on differential inequalities theory, leads to a similar positive conclusion. Numerical experiments complete the study.

Détail

Publié le : 2010-01-01

MR 2659159 | Zbl 1194.35454

DOI : https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2010.02.003
Classification:  35L85,  65M12,  74H45

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